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充分性 若根据定理5.3，存在p∶E→B的提升h∶E→E和h′∶E→E，使得h（e）＝e′，h′（e′）＝e．于是h′h也是p∶E→B的提升，并且h′h（e）＝e．由提升唯一性，h′h＝id．同理hh′＝id．于是h是同胚，h∈（E，p）． ▎
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然而，在一般的复叠空间中，命题5.8的条件并不是总能成立的．
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例1 考察§1例4中的复叠空间．记字形的切点为b0，则p-1（b0）是复叠空间中的三个切点e1，e2，e3（图5-10）．不难证明复叠空间的每个自同胚必须保持e2不动，从而它只有恒同这一个复叠变换．
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图5-10
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3.2 正则复叠空间
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定义5.3 复叠映射p∶E→B如果对某个e∈E，He是π1（B，p（e））的正规子群，则称p是正则复叠映射，称（E，p）是B上的正则复叠空间．
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事实上，当（E，p）是B上的正则复叠空间时，∀e′∈E，都是π1（B，p（e′））的正规子群．这是因为从e到e′的道路类导出的同构和导出的同构使图表交换，于是是π（B，p（e′））的正规子群．
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因为正规子群只和自己共轭，所以对于正则复叠空间，当e，e′在同一纤维中时，即∀b∈B，∀e∈p-1（b）决定π1（B，b）的同一正规子群He，以后将它记作Hb．
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从命题5.8容易推出，（E，p）是B上的正则复叠空间的充要条件是：∀e，e′∈E，如果p（e）＝p（e′），则存在复叠变换把e映为e′．
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例2 把S3看作2维复空间C2中的单位球面
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S3＝｛（z1，z2）｜‖z1‖2＋‖z2‖2＝1｝．
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作f∶S3→S3为其中p，q为自然数，（p，q）＝1（p，q互素）．则f是周期同胚，fp＝id，并且当1≤r＜p时，fr没有不动点（因为和都不是整数，并且z1，z2不能都为0）．记商空间S3/f为L（p，q），称为透镜空间．根据命题5.1，粘合映射π∶S3→L（p，q）是复叠映射，并且f是复叠变换．每个纤维都是S3在f作用下的轨道（即点集｛x，f（x），…，fp－1（x）｝），于是同一纤维中任何两点e和e′都有复叠变换（f的幂）把e映为e′．因此π是正则复叠映射．
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不难看出，L（2，1）＝P3．
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一般地，命题5.1中所给出的复叠映射p∶X→X/f都是正则的．因此，§1中例1，例2，例5和例6给出的都是正则复叠映射．
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p：E1→S1，xei2πx和§1例3给出的也都是正则复叠映射．