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按照定义，∀h∈（E，p），取E中从e到h（e）的道路类α，则θ（h）＝［pπ（α）］（图5-11（a））．
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图5-11
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设h，h′∈（E，p）．分别取α和α′是E中从e到h（e）和h′（e）的道路类，则就得是从h′（e）到h′h（e）的道路类．于是从e到h′h（e）（图5-11（b）），从而
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这就证明了θ保持运算，是同态． ▎
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3.3 泛复叠空间
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定义5.4 如果复叠空间（E，p）的E是单连通的，就称为泛复叠空间（也叫万有复叠空间），相应的复叠映射称为泛复叠映射．
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泛复叠空间是一种特殊的正则复叠空间，因为e∈E，He是平凡群．§1中的例2和例3都是泛复叠空间．本节中例2给出的也是泛复叠空间．
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根据定理5.4，当（E，p）是B上的泛复叠空间时，这给出了计算基本群的一种途径．
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例如，p：E1→S1，x1ei2πx是泛复叠映射，不难看出，复叠变换是平移，移动距离是整数．记φ：E1→E1为φ（x）＝x＋1，则（E1，p）是φ生成的自由循环群．于是
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§1例3中的p：E2→T2也是泛复叠映射．∀h∈（E2，p），h（x，y）＝（x＋n，y＋m），n，m∈Z．记φ，∈（E2，p）为φ（x，y）＝（x＋1，y），（x，y）＝（x，y＋1），则（E2，p）是以φ和为基的自由交换群，因此
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π：S3→L（p，q）（见例2）也是泛复叠映射，（S3，π）是f生成的p阶循环群，因此
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下面的命题说明，B上的泛复叠空间是B上所有其他复叠空间的复叠空间．这正是它名称的来源．
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