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命题5.9 设p0:E0→B是泛复叠映射,p:E→B是复叠映射,则有复叠映射使得
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证明 因为p0是泛复叠映射.在定理5.3中,让X=E0,则对于复叠映射p,映射p0有提升即使右边的映射图表交换.只用再验证是复叠映射.
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∀e∈E,记b=p(e).取U是b的一个道路连通的开邻域,使它关于p和p0都是基本邻域.设V是p-1(U)中e所在的道路分支,则p|V:V→U是同胚.记{Wα}是(U)的连通分支的集合.因此并且是道路连通的,于是它在p-1(U)的某个道路分支中.这样如果则因为其中p0|Wα,p|V都是同胚,所以也是同胚.这样,V是基本邻域,是复叠映射. ▎
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习 题
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1.设p:E→B是泛复叠映射,则B是局部半单连通的,并且B的道路连通开集U是基本邻域U半单连通.
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2.如果q-q′能被p整除,则L(p,q)=L(p,q′).
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3.若p:E→B是正则复叠映射,U⊂B是道路连通的基本邻域,Vα是p-1(U)的一个分支.证明p-1(U)的所有分支的集合为{h(Vα)|h∈(E,p)}.
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4.设p:E→B是泛复叠映射,G是(E,p)的子群.记为投射,p1:E1→B是p导出的映射.证明与p1都是复叠映射.
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5.设p:E→B是泛复叠映射.a和a′是B的两条有相同起、终点的道路,和是a和a′的提升,且证明
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6.设p:E→B是泛复叠映射,e∈E,b=p(e).记B的以b为起点的道路类的集合为Ωb,规定对应
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ρ:Ωb→E
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[ :1.701045465e+09 ]
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