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∀e∈E，记b＝p（e）．取U是b的一个道路连通的开邻域，使它关于p和p0都是基本邻域．设V是p-1（U）中e所在的道路分支，则p｜V：V→U是同胚．记｛Wα｝是（U）的连通分支的集合．因此并且是道路连通的，于是它在p-1（U）的某个道路分支中．这样如果则因为其中p0｜Wα，p｜V都是同胚，所以也是同胚．这样，V是基本邻域，是复叠映射． ▎
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习 题
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1．设p：E→B是泛复叠映射，则B是局部半单连通的，并且B的道路连通开集U是基本邻域U半单连通．
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2．如果q－q′能被p整除，则L（p，q）＝L（p，q′）．
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3．若p：E→B是正则复叠映射，U⊂B是道路连通的基本邻域，Vα是p-1（U）的一个分支．证明p-1（U）的所有分支的集合为｛h（Vα）｜h∈（E，p）｝．
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4．设p：E→B是泛复叠映射，G是（E，p）的子群．记为投射，p1：E1→B是p导出的映射．证明与p1都是复叠映射．
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5．设p：E→B是泛复叠映射．a和a′是B的两条有相同起、终点的道路，和是a和a′的提升，且证明
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6．设p：E→B是泛复叠映射，e∈E，b＝p（e）．记B的以b为起点的道路类的集合为Ωb，规定对应
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ρ：Ωb→E
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为：∀〈a〉∈Ωb，ρ（〈a〉）：＝（1），这里是a的以e为起点的提升．证明ρ是一一对应．
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基础拓扑学讲义 [:1701040227]
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*§4 复叠空间存在定理
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在复叠空间的应用中，还必须解决复叠空间的存在与否的问题，即要知道满足什么条件的空间有复叠空间．本节就要讨论这个问题．我们将给出泛复叠空间存在的一个充分必要条件，并指出它也是别的类型的复叠空间存在的充分条件，对于实际应用中遇到的大多数空间，这个条件总是满足的，因此它不会成为应用复叠空间的障碍．
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如果空间B上有泛复叠空间，则B是局部半单连通的（§3习题1）．本节的主要定理说明局部半单连通还是存在泛复叠空间的充分条件．
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定理5.5（复叠空间存在定理） 如果拓扑空间B道路连通和局部道路连通，并且还局部半单连通，则B有泛复叠空间．
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证明 下面是一个构造性的证明，分几步进行．