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1701045487 ∀e∈E,记b=p(e).取U是b的一个道路连通的开邻域,使它关于p和p0都是基本邻域.设V是p-1(U)中e所在的道路分支,则p|V:V→U是同胚.记{Wα}是(U)的连通分支的集合.因此并且是道路连通的,于是它在p-1(U)的某个道路分支中.这样如果则因为其中p0|Wα,p|V都是同胚,所以也是同胚.这样,V是基本邻域,是复叠映射. ▎
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1701045489 习 题
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1701045492 1.设p:E→B是泛复叠映射,则B是局部半单连通的,并且B的道路连通开集U是基本邻域U半单连通.
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1701045494 2.如果q-q′能被p整除,则L(p,q)=L(p,q′).
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1701045497 3.若p:E→B是正则复叠映射,U⊂B是道路连通的基本邻域,Vα是p-1(U)的一个分支.证明p-1(U)的所有分支的集合为{h(Vα)|h∈(E,p)}.
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1701045503 4.设p:E→B是泛复叠映射,G是(E,p)的子群.记为投射,p1:E1→B是p导出的映射.证明与p1都是复叠映射.
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1701045510 5.设p:E→B是泛复叠映射.a和a′是B的两条有相同起、终点的道路,和是a和a′的提升,且证明
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1701045512 6.设p:E→B是泛复叠映射,e∈E,b=p(e).记B的以b为起点的道路类的集合为Ωb,规定对应
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1701045514 ρ:Ωb→E
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1701045518 为:∀〈a〉∈Ωb,ρ(〈a〉):=(1),这里是a的以e为起点的提升.证明ρ是一一对应.
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1701045520 基础拓扑学讲义 [:1701040227]
1701045521 *§4 复叠空间存在定理
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1701045523 在复叠空间的应用中,还必须解决复叠空间的存在与否的问题,即要知道满足什么条件的空间有复叠空间.本节就要讨论这个问题.我们将给出泛复叠空间存在的一个充分必要条件,并指出它也是别的类型的复叠空间存在的充分条件,对于实际应用中遇到的大多数空间,这个条件总是满足的,因此它不会成为应用复叠空间的障碍.
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1701045525 如果空间B上有泛复叠空间,则B是局部半单连通的(§3习题1).本节的主要定理说明局部半单连通还是存在泛复叠空间的充分条件.
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1701045527 定理5.5(复叠空间存在定理) 如果拓扑空间B道路连通和局部道路连通,并且还局部半单连通,则B有泛复叠空间.
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1701045529 证明 下面是一个构造性的证明,分几步进行.
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