1701045530
1701045531
（一）构造空间E和映射p：E→B
1701045532
1701045533
§3的习题6说明，如果p：E→B是泛复叠映射，则对∀b∈B，B中以b为起点的道路类的集合与E可建立一一对应关系．这个事实启示我们迈出构造泛复叠空间的第一步：取点b0∈B，令E是B中以b0为起点的道路类的集合．同时规定映射p：E→B为：∀α∈E，p（α）＝α（1），即令p（α）是道路类α的终点．从B是道路连通的条件立即推出p是满映射．
1701045534
1701045535
现在通过规定E的一个拓扑基来给出E的拓扑．设α∈E，U是B的道路连通开集，使得α（1）∈U．规定
1701045536
1701045537
（α，U）＝｛α〈w〉｜w是U中起点为α（1）的道路｝，
1701045538
1701045539
并记
1701045540
1701045541
1701045542
＝｛（α，U）｜α∈E，U是α（1）的道路连通开邻域｝．
1701045543
1701045544
1701045545
1701045546
容易验证是集合E的一个拓扑基．规定E上的拓扑为所得拓扑空间仍记作E．
1701045547
1701045548
（二）p是连续开映射
1701045549
1701045550
1701045551
容易看出，对于中的任一成员（α，U），p（α，U）＝U是B的开集．由此可推出p是开映射．
1701045552
1701045553
要证p连续，只须对于B的每个道路连通开集U，验证p-1（U）是开集（因为由B局部道路连通推出，所有道路连通开集构成B的拓扑基）．为此要说明∀α∈p-1（U）都是p-1（U）的内点．
1701045554
1701045555
1701045556
由α∈p-1（U）得到α（1）＝p（α）∈U，从而（α，U）∈，并且p（a，U）＝U．于是α∈（α，U）⊂p-1（U），因此α是p-1（U）的内点．
1701045557
1701045558
在进行下一步论证之前，先证明一个引理．
1701045559
1701045560
1701045561
引理 （1）如果（α，U）∈，β∈（α，U），则（α，U）＝（β，U）．
1701045562
1701045563
1701045564
（2）如果（α，U）∈，并且U半单连通，则p：（α，U）→U是同胚映射．
1701045565
1701045566
1701045567
1701045568
证明 （1）设β＝α〈w〉，w是U中的道路，则β（1）＝w（1）∈U，从而（β，U）有意义．并且∀γ∈（β，U）可写成γ＝β〈w′〉．于是γ＝α〈ww′〉∈（α，U）．这样（β，U）⊂（α，U）．又因为同样可证得（α，U）⊂（β，U）．于是（α，U）＝（β，U）．
1701045569
1701045570
（2）p：（α，U）→U是连续的，并且因为（α，U）是E的开集，p：E→B是开映射，所以p：（α，U）→U也是开映射．为证明它是同胚映射，只用验证p是一一对应．设β1，β2∈（α，U）且p（β1）＝p（β2）＝b，设β1＝α〈w1〉，β2＝α〈w2〉，则w1，w2都是U中从α（1）到b的道路．由于U半单连通，〈w1〉＝〈w2〉，从而β1＝β2．这证明了p：（α，U）→U是单一的．上面早已指出它是满的，从而确为一一对应．引理证毕．
1701045571
1701045572
现在继续证明定理5.5．
1701045573
1701045574
（三）求B的基本邻域．
1701045575
1701045576
∀b∈B，取U是b的半单连通的开邻域，则
1701045577
1701045578
1701045579