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设是泛复叠映射．取定记是定理5.4证明中规定的同构，记是诱导的映射，则p是复叠映射（见§3习题3）．设e是所在的等价类，则剩下只须证明He＝G了．
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∀〈a〉∈π1（B，b），记设是中以为起点的道路，且则记为投射，则是a（关于p）在e处的提升．于是
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是e处的闭路
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基础拓扑学讲义 第六章 单纯同调群（上）
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同调理论是代数拓扑学的最基本的组成部分．在同调论中，拓扑空间对应着一系列交换群，称为它的同调群；连续映射对应着空间的同调群之间的同态．它们有拓扑不变性和同伦不变性，从而深刻地反映了空间的拓扑特征．并且因为我们同时建立各种维数的同调群，所以它们不仅能像基本群那样解决低维几何问题，也能解决高维问题．
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有多种同调论系统，单纯同调论是其中最简单、出现最早的一种．它只适用于一类特殊的空间，这种空间是欧氏空间中具有组合结构的紧致子集，能用一些最简单的几何体（所谓“单纯形”）有规则地拼接成．单纯同调论正是利用这种组合结构，用组合方法构造同调群的，因此也称作组合拓扑学．
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单纯同调论几何直观强，易于计算．尽管它对空间的要求似乎过于苛刻，但许多常用空间都符合其要求，再加上同伦不变性，它仍不失去广泛的应用．它还是学习其他同调论的基础．
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单纯同调论内容十分丰富，理论的建立也比基本群困难得多．本书只能介绍它的最基础的部分．本章讲单纯同调群的定义及有关的基本概念；第七章讲连续映射导出的同调群的同态，第八章介绍单纯同调群的一些应用．
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我们涉及的群都是交换群（或称Abel群），按照代数学的习惯，以后群的运算称作加法，单位元记作0；平凡群称为零群，也记作0；平凡同态称为零同态；两个群的直积称作直和，并用作运算符号，例如ZZ就是Z×Z．本书将用到的有关交换群的一些知识（主要是有限生成交换群的直和分解定理）放在附录A中．
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