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下面证明反向的包含关系．∀β∈p-1（U），则p（β，U）＝U，因此存在α∈p-1（b）∩（β，U）．由引理的（1），（β，U）＝（α，U）．从而我们已得到p-1（U）的分解式
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对于p-1（b）中不同的元素α，α′，（α，U）与（α′，U）不相交．（否则，设β∈（α，U）∩（α′，U），则（α，U）＝（β，U）＝（α′，U），于是p：（α，U）→U把α，α′都映到b，与引理的（2）矛盾．）因此每个开集（α，U）确是p-1（U）的道路分支．引理的（2）已说明p：（α，U）→U是同胚，∀α∈p-1（b）．这样U符合基本邻域的条件．
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（四）为说明p：E→B是复叠映射，只须再验证E是道路连通的．记α0是b0处的点道路所在的道路类．我们来证明，∀α∈E，存在E中道路连结α0和α．设α＝〈a〉．我们用表示B中如下规定的道路：
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∀t∈I．
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作映射为于是
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验证的连续性，为此要对∀（β，U）∈B，证明是I的开集．由于则由a的连续性，可取δ＞0，使得当｜r－s｜＜δ时，道路在U中．于是从而这样，s是的内点．由s的任意性，得出确是开集．这样，确是连结α0和α的道路．
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（五）最后来证明E单连通．由于已证明p：E→B是复叠映射，只用验证：当B中b0处的闭路a在α0处的提升若是闭路，则〈a〉＝α0．事实上，按（四）的方式构造的就是a的提升（它是唯一的！）．是闭路，就是 ▎
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对于一般复叠空间的存在性，B的局部半单连通也是充分条件．一般的复叠空间存在定理叙述如下：
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定理5.5a 如果B道路连通、局部道路连通和局部半单连通，则对∀b∈B和π1（B，b）的任一子群G，存在复叠映射p：E→B以及p-1（b）的一点e，使得He＝G．
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读者可以仿照定理5.5的证明方法，写出这个一般定理的证明，这里省略了．它也可作为定理5.5的推论，不过要用到下面的命题．
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命题5.10 若B有泛复叠空间，则对∀b∈B和π1（B，b）的任一子群G，存在复叠映射p：E→B以及p-1（b）的一点e，使得He＝G．
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证明 论证的一部分已在§3的习题中出现．