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如果a0用任何别的ai代替,命题仍然成立.
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定义6.1 欧氏空间中处于一般位置的n+1个点{a0,…,an}(n≥0)的凸包称为一个n维单纯形,简称n维单形,记作(a0,a1,…,an).称ai为它的顶点,i=0,…,n.
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本书中为了简便,常用小写英文字母或希腊字母来命名一个单形,并在下面加一横线,如单形单形>等.0维单形只有一个点,即它唯一的顶点a,通常就记作a.
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不难验证,对于欧氏空间的任一子集A,A的凸包为
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只有有限个不为0,并且
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因此作为点集,
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也就是说,∀x∈(a0,a1,…,an),存在非负实数组{λ0,λ1,…,λn},使得并且这样的实数组是被x唯一决定的,因为如果也适合要求,则有
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(1)
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(2)
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从而由{a0,a1,…,an}处于一般位置推出称{λ0,λ1,…,λn}为x关于顶点集{a0,a1,…,an}的重心坐标.
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把向量组{a1-a0,…,an-a0}所张的n维子空间记作L,将L作平移向量为a0的平移,得到超平面L+①.不难得出
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于是L+a0=L+ai(i=0,1,…,n).称它为{a0,a1,…,an}所张的超平面.由{a0,a1,…,an}处于一般位置,推出:L+a0上的每一点x决定一数组{λ0,λ1,…,λn},使得称它为x关于{a0,a1,…,an}的重心坐标.于是,(a0,a1,…,an)是L+a0上具有非负重心坐标的点所构成的子集.
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图6-1
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