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取定K的αq个定向单形它们构成Cq（K）的基．设链则因为∂q是同态，所以有
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当q≤0或q＞dimK时，规定∂q是零同态．
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定理6.1 ∀q∈Z，∂q-1∂q＝0．
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证明 只须对1＜q≤dimK的情形证明，并且只用验证∀s∈Tq（K），∂q-1∂qs＝0．
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记s＝a0a1…aq，则
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图6-11的复形K中，设2维链c＝a0a1a4＋a1a3a4＋a1a2a3．a1a4是a0a1a4的顺向面，是a1a3a4的逆向面，因此它在∂2c中不出现（即∂2c（a1a4）＝0）．同理∂2c中也没有a1a3．可算得∂2c＝a0a1＋a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a0，直观上看是围这3个三角形的有向闭折线，方向由三角形的转向决定，∂1（∂2c）＝0．
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图6-11
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2.4 同调群
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设K为复形．我们已对每个整数q建立了q维链群Cq（K），并定义了边缘同态∂q：Cq（K）→Cq-1（K）．所有这些链群和边缘同态合在一起，称为K的链复形，记作C（K），即
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C（K）：＝｛Cq（K）；∂q｜q∈Z｝．
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C（K）也可看作交换群与同态的一个序列
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从链复形C（K）出发建立同调群，只是代数问题了．
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定义6.6 称边缘同态∂q：Cq（K）→Cq-1（K）的核为K的q维闭链群，记作Zq（K），它的元素称为K的q维闭链；称边缘同态∂q+1：Cq+1（K）→Cq（K）的像为K的q维边缘链群，记作Bq（K），其元素称为K的q维边缘链．
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Zq（K）与Bq（K）都是Cq（K）的子群，因此都是自由交换群．∀bq∈Bq（K），存在cq+1∈Cq+1（K），使得bq＝∂q+1cq+1，于是
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∂qbq＝∂q（∂q+1cq+1）＝（∂q∂q+1）cq+1＝0
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（根据定理6.1，∂q∂q+1是零同态）．因此Bq（K）是Zq（K）的子群．
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