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2.3 边缘同态
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复形中单形的连接关系就是“面”的关系，而相邻维数的单形间的“面”关系又是关键．有了单形定向的概念，就能更好地来刻画这种关系．
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设s是q维定向单形，t是q－1维定向单形，并且是s的面．设a是s比t多的那个顶点．取t的顶点的一个代表其定向的排列a0a1…aq-1则定向单形aa0…aq-1与该排列的选择无关，记at＝aa0…aq-1．如果s＝at，就称t是s的顺向面，如果s＝－at，就称t是s的逆向面．
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例如，a1是a0a1的顺向面，而a0是a0a1的逆向面；对于2维定向单形a0a1a2来说，a1a2，a0a1和a2a0是它的顺向面，a2a1，a1a0和a0a2是逆向面．
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对于任给s∈Tq（K），t∈Tq-1（K），规定s与t的关联系数［s；t］为
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显然，［－s；t］＝－［s；t］＝［s；－t］．
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例如设s＝a0a1…aq，（表示去掉ai），则s＝（－1）iait，因此是s的顺向面．
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关联系数是建立边缘同态的基础，下面的引理是建立边缘同态以及别的许多链群间的同态的工具，它完全是代数的，证明留作习题．
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引理 设G是交换群，φ0：Tq（K）→G是一个对应，使得φ0（－s）＝－φ0（s），∀s∈Tq（K），则φ0能唯一地扩张为同态φ：Cq（K）→G． ▎
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设0＜q≤dimK，s∈Tq（K）．规定∂qs：Tq-1→Z为
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∂qs（t）＝［s；t］，∀t∈Tq-1（K）．
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于是∂qs（－t）＝［s；－t］＝－［s；t］＝－∂qs（t），按定义，∂qs是K上的q－1维链，即称为s的边缘链．
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不难看出，∂qs就是s的顺向面（作为链）之和：
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如果s＝a0a1…aq，则
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图6-10是1维单形和2维单形的边缘链．∂1a0a1＝a1－a0，即1维定向单形的边缘链是它的终点减起点；∂2a0a1a2＝a1a2－a0a2＋a0a1＝a0a1＋a1a2＋a2a0，这3个1维定向单形（看作有向线段）可连接成一条有向闭折线，其方向就是2维定向单形的转向．
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图6-10
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现在已规定了对应∂q：Tq（K）→Cq-1（K），并且它满足引理的条件，即∂q（－s）＝－∂qs（因为∂q（－s）（t）＝［－s；t］＝－［s；t］＝－∂qs（t），∀t∈Tq-1（K））．于是它可以唯一地扩张为Cq（K）到Cq-1（K）的同态，仍记作∂q，称为Cq（K）到Cq-1（K）的边缘同态．
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