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图6-10
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现在已规定了对应∂q:Tq(K)→Cq-1(K),并且它满足引理的条件,即∂q(-s)=-∂qs(因为∂q(-s)(t)=[-s;t]=-[s;t]=-∂qs(t),∀t∈Tq-1(K)).于是它可以唯一地扩张为Cq(K)到Cq-1(K)的同态,仍记作∂q,称为Cq(K)到Cq-1(K)的边缘同态.
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取定K的αq个定向单形它们构成Cq(K)的基.设链则因为∂q是同态,所以有
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当q≤0或q>dimK时,规定∂q是零同态.
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定理6.1 ∀q∈Z,∂q-1∂q=0.
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证明 只须对1<q≤dimK的情形证明,并且只用验证∀s∈Tq(K),∂q-1∂qs=0.
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记s=a0a1…aq,则
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图6-11的复形K中,设2维链c=a0a1a4+a1a3a4+a1a2a3.a1a4是a0a1a4的顺向面,是a1a3a4的逆向面,因此它在∂2c中不出现(即∂2c(a1a4)=0).同理∂2c中也没有a1a3.可算得∂2c=a0a1+a1a2+a2a3+a3a4+a4a0,直观上看是围这3个三角形的有向闭折线,方向由三角形的转向决定,∂1(∂2c)=0.
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图6-11
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2.4 同调群
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设K为复形.我们已对每个整数q建立了q维链群Cq(K),并定义了边缘同态∂q:Cq(K)→Cq-1(K).所有这些链群和边缘同态合在一起,称为K的链复形,记作C(K),即
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C(K):={Cq(K);∂q|q∈Z}.
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C(K)也可看作交换群与同态的一个序列
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从链复形C(K)出发建立同调群,只是代数问题了.
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定义6.6 称边缘同态∂q:Cq(K)→Cq-1(K)的核为K的q维闭链群,记作Zq(K),它的元素称为K的q维闭链;称边缘同态∂q+1:Cq+1(K)→Cq(K)的像为K的q维边缘链群,记作Bq(K),其元素称为K的q维边缘链.
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