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Zq（K）与Bq（K）都是Cq（K）的子群，因此都是自由交换群．∀bq∈Bq（K），存在cq+1∈Cq+1（K），使得bq＝∂q+1cq+1，于是
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∂qbq＝∂q（∂q+1cq+1）＝（∂q∂q+1）cq+1＝0
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（根据定理6.1，∂q∂q+1是零同态）．因此Bq（K）是Zq（K）的子群．
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定义6.7 设K是单纯复合形，称商群Zq（K）/Bq（K）为K的q维同调群，记作Hq（K）．
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如果K中两个q维链c与c′之差是边缘链，即c－c′∈Bq（K），则说c与c′是同调的，记作c～c′．同调关系是Cq（K）中的一个等价关系，Cq（K）在此关系下分成的等价类（也就是商群Cq（K）/Bq（K）的元素）称为同调类．链c所在的同调类记作〈c〉．与闭链同调的链也是闭链，Hq（K）中的元素也就是闭链的同调类．
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同调群是有着深刻的几何内涵的，只是建立同调群的曲折复杂的过程和抽象的代数化的形式掩盖了它的几何背景．下面我们来剖析1维同调群的几何意义．
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复形K的一个1维链c如果能写成下面的形式：
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c＝a0a1＋a1a2＋…＋ar-1ar＋arar+1
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其中a1，…，ar各不相同，且和a0，ar+1不同，就称c是一条1维简单链，称a0，ar+1分别是它的起点和终点；如果a0＝ar+1，就称为1维简单闭链（图6-12）．显然，1维简单闭链确是闭链，并且任何1维闭链可分解为若干1维简单闭链之和（习题2）．
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图6-12
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一个1维复形L称为树，如果L连通，并且去掉它的任何一个1维单形就要破坏连通性．
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如果L是树，a，b是L的不同顶点，则K中有唯一1维简单链分别以a，b为起、终点（习题7）．L不存在1维简单闭链，从而Z1（L）＝0．
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设K是连通复形．K的子复形L如果是树，并且K0 ⊂L，则称L是K的一个极大树．图6-13中，用黑线勾划的部分就是复形K的一个极大树．
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图6-13
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如果s＝b1b2是KL中的1维定向单形，则L中有从b2到b1的1维简单链，它加上s就得到K的一个1维简单闭链．对KL中每个1维单形取好定向，得到1维定向单形集合｛s1，s2，…，sm｝，由si按上述方法决定的1维简单闭链记作zi．
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命题6.3 ｛z1，z2，…，zm｝是Z1（K）的基．
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证明 ∀z∈Z1（K），记z（si）＝ni．则在每个si上取值为0，于是从而即
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这说明｛z1，z2，…，zm｝生成Z1（K）．
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