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图6-11的复形K中，设2维链c＝a0a1a4＋a1a3a4＋a1a2a3．a1a4是a0a1a4的顺向面，是a1a3a4的逆向面，因此它在∂2c中不出现（即∂2c（a1a4）＝0）．同理∂2c中也没有a1a3．可算得∂2c＝a0a1＋a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a0，直观上看是围这3个三角形的有向闭折线，方向由三角形的转向决定，∂1（∂2c）＝0．
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图6-11
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2.4 同调群
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设K为复形．我们已对每个整数q建立了q维链群Cq（K），并定义了边缘同态∂q：Cq（K）→Cq-1（K）．所有这些链群和边缘同态合在一起，称为K的链复形，记作C（K），即
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C（K）：＝｛Cq（K）；∂q｜q∈Z｝．
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C（K）也可看作交换群与同态的一个序列
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从链复形C（K）出发建立同调群，只是代数问题了．
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定义6.6 称边缘同态∂q：Cq（K）→Cq-1（K）的核为K的q维闭链群，记作Zq（K），它的元素称为K的q维闭链；称边缘同态∂q+1：Cq+1（K）→Cq（K）的像为K的q维边缘链群，记作Bq（K），其元素称为K的q维边缘链．
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Zq（K）与Bq（K）都是Cq（K）的子群，因此都是自由交换群．∀bq∈Bq（K），存在cq+1∈Cq+1（K），使得bq＝∂q+1cq+1，于是
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∂qbq＝∂q（∂q+1cq+1）＝（∂q∂q+1）cq+1＝0
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（根据定理6.1，∂q∂q+1是零同态）．因此Bq（K）是Zq（K）的子群．
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定义6.7 设K是单纯复合形，称商群Zq（K）/Bq（K）为K的q维同调群，记作Hq（K）．
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如果K中两个q维链c与c′之差是边缘链，即c－c′∈Bq（K），则说c与c′是同调的，记作c～c′．同调关系是Cq（K）中的一个等价关系，Cq（K）在此关系下分成的等价类（也就是商群Cq（K）/Bq（K）的元素）称为同调类．链c所在的同调类记作〈c〉．与闭链同调的链也是闭链，Hq（K）中的元素也就是闭链的同调类．
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同调群是有着深刻的几何内涵的，只是建立同调群的曲折复杂的过程和抽象的代数化的形式掩盖了它的几何背景．下面我们来剖析1维同调群的几何意义．
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复形K的一个1维链c如果能写成下面的形式：
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c＝a0a1＋a1a2＋…＋ar-1ar＋arar+1
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其中a1，…，ar各不相同，且和a0，ar+1不同，就称c是一条1维简单链，称a0，ar+1分别是它的起点和终点；如果a0＝ar+1，就称为1维简单闭链（图6-12）．显然，1维简单闭链确是闭链，并且任何1维闭链可分解为若干1维简单闭链之和（习题2）．
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图6-12
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