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设是K的全部顶点，则Z0（K）＝C0（K）由生成．∀ai，aj，由于K连通，存在1维简单链c1分别以ai和aj为起、终点（§2习题7），于是aj－ai＝∂c1，aj～ai．设c∈C0（K），则记称为c的指数，则〈c〉＝d〈c〉〈a1〉．因此H0（K）是由〈a1〉生成的循环群．下面计算〈a1〉的阶．
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不难看出d（c＋c′）＝d（c）＋d（c′），∀s∈T1（K），d（∂1s）＝0．设n〈a1〉＝0，则na1∈B0（K），因而有c1＝∑ιisi∈C1（K），使得na1＝∂c1．于是n＝d（∂c1）＝d（∑ιi∂si）＝∑ιid（∂si）＝0．得出〈a1〉的阶为0，因此它自由生成H0（K），H0（K）是自由循环群． ▎
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*3.3 1维同调群与基本群的关系
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当K是连通复形时，H1（K）和π1（｜K｜）都反映了｜K｜上“洞”的个数，而一般地它们是不相同的，H1（K）是交换群，π1（｜K｜）可能不是交换群，事实上，这两个群之间有着密切的关系．
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定理6.3 当复形K连通时，H1（K）同构于π1（｜K｜）的交换化．
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证明 因为（见§1习题10），（命题6.4），所以不妨假定K是2维复形．
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取定K的一个极大树L和一个顶点a．则∀ai∈K0，存在L中从a到ai的唯一1维简单链ci，它又决定｜L｜中从a到ai的道路wi（在图6-14中，ci＝aaj＋ajak＋akai）．
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图6-14
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∀s∈T1（K），设s＝aiaj．记zs＝ci＋aiaj－cj，是从ai到aj的线性道路），则zs是闭链，bs是a处的闭路．对KL中每个1维单形取定定向，并排列为｛s1，s2，…，sm｝，它们决定m个1维闭链和a处的m条闭路类似于命题6.3可以证明：是Z1（K）的基．
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下面归纳地（对K中2维单形的个数作归纳）证明存在同态Φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K），使得
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（1）Φ（〈bs〉）＝〈zs〉，∀s∈T1（K）；
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（2）KerΦ是π1（｜K｜，a）的换位子群．
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若K没有2维单形，则用Van-Kampen定理可以证明，π1（｜K｜，a）由自由生成，H1（K）＝Z1（K）由自由生成．规定Φ（〈bs〉）＝〈zs〉，∀s∈T1（K），则Φ决定一个同态Φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K）．显然（1）满足，并根据命题A.12，KerΦ是π1（｜K｜，a）的换位子群．
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假设对于2维单形不多于k个的情形上述断言成立．设K有k＋1个2维单形．取记则L仍是K1的极大树，且bs，zs等概念都不改变．由归纳假设，存在同态Φ1∶π1（｜K1｜，a）→H1（K1），满足条件（1）和（2）．
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记
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s＝a1a2， sˈ＝a2a3， s″＝a3a1；
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