打字猴:1.701046355e+09
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1701046358 则Φ1(〈b〉)=〈z〉,并且(这里α是从a1出发绕一周又回到a1的道路)(图6-15),
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1701046363 图6-15
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1701046365 z=a1a2+a2a3+a3a1=∂a1a2a3.
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1701046367 根据Van-Kampen定理,
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1701046369 π1(|K|,a)=π1(|K1|,a)/[〈b〉],
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1701046371 按照同调群的定义,若记≪z≫是〈z〉生成的H1(K1)的子群,则
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1701046373 H1(K)=H1(K1)/≪z≫.
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1701046375 由φ1(〈b〉)=〈z〉得到φ1([〈b〉])=≪z≫.于是(用命题A.11),存在同态φ∶π1(|K|,a)→H1(K)使得下面图表可交换:
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1701046380 (上下同态是投射),并且Kerφ是π1(|K|,a)的换位子群.由图表的交换性及φ1满足(1),推得φ满足(1).
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1701046382 归纳证明完成,从而完成了命题的证明. ▎
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1701046384 3.4 Euler-Poincaré公式
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1701046386 设复形K有αq个q维单形,q=0,1,…,dimK.
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1701046388 定义6.8 称整数
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1701046393 为复形K的Euler示性数.
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1701046395 Euler示性数与立体几何中凸多面体的Euler数有密切关系.设凸多面体有e0个顶点,e1条棱,e2个面.对它的每个面可用一些互不交叉的对角线分割为三角形,从而使凸多面体的表面有一个三角剖分K.设K的q维单形数为αq,q=0,1,2(dimK=2),则α0=e0(上述分割不增加新顶点),α1-e1=α2-e2(因为每加一条对角线就增加一个面).于是x(K)=α0-α1+α2=e0-e1+e2,即就是凸多面体的Euler数.因此Euler示性数可看成凸多面体Euler数的推广.
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1701046397 Hq(K)是有限生成交换群,记它的秩为βq,即
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1701046399 βq∶=rank(Hq(K)),
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1701046401 称为复形K的q维Betti数.
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1701046403 定理6.4(Euler-Poincaré定理) 设K是n维复形,βq是K的q维Betti数,q=0,1,…,n.则有Euler-Poincaré公式
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