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则Φ1（〈b〉）＝〈z〉，并且（这里α是从a1出发绕一周又回到a1的道路）（图6-15），
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图6-15
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z＝a1a2＋a2a3＋a3a1＝∂a1a2a3．
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根据Van-Kampen定理，
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π1（｜K｜，a）＝π1（｜K1｜，a）/［〈b〉］，
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按照同调群的定义，若记≪z≫是〈z〉生成的H1（K1）的子群，则
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H1（K）＝H1（K1）/≪z≫．
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由φ1（〈b〉）＝〈z〉得到φ1（［〈b〉］）＝≪z≫．于是（用命题A.11），存在同态φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K）使得下面图表可交换：
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（上下同态是投射），并且Kerφ是π1（｜K｜，a）的换位子群．由图表的交换性及φ1满足（1），推得φ满足（1）．
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归纳证明完成，从而完成了命题的证明． ▎
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3.4 Euler-Poincaré公式
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设复形K有αq个q维单形，q＝0，1，…，dimK．
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定义6.8 称整数
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为复形K的Euler示性数．
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Euler示性数与立体几何中凸多面体的Euler数有密切关系．设凸多面体有e0个顶点，e1条棱，e2个面．对它的每个面可用一些互不交叉的对角线分割为三角形，从而使凸多面体的表面有一个三角剖分K．设K的q维单形数为αq，q＝0，1，2（dimK＝2），则α0＝e0（上述分割不增加新顶点），α1－e1＝α2－e2（因为每加一条对角线就增加一个面）．于是x（K）＝α0－α1＋α2＝e0－e1＋e2，即就是凸多面体的Euler数．因此Euler示性数可看成凸多面体Euler数的推广．
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Hq（K）是有限生成交换群，记它的秩为βq，即
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βq∶＝rank（Hq（K）），
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称为复形K的q维Betti数．
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定理6.4（Euler-Poincaré定理） 设K是n维复形，βq是K的q维Betti数，q＝0，1，…，n．则有Euler-Poincaré公式
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