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∀s∈T1(K),设s=aiaj.记zs=ci+aiaj-cj,是从ai到aj的线性道路),则zs是闭链,bs是a处的闭路.对KL中每个1维单形取定定向,并排列为{s1,s2,…,sm},它们决定m个1维闭链和a处的m条闭路类似于命题6.3可以证明:是Z1(K)的基.
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下面归纳地(对K中2维单形的个数作归纳)证明存在同态Φ∶π1(|K|,a)→H1(K),使得
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(1)Φ(〈bs〉)=〈zs〉,∀s∈T1(K);
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(2)KerΦ是π1(|K|,a)的换位子群.
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若K没有2维单形,则用Van-Kampen定理可以证明,π1(|K|,a)由自由生成,H1(K)=Z1(K)由自由生成.规定Φ(〈bs〉)=〈zs〉,∀s∈T1(K),则Φ决定一个同态Φ∶π1(|K|,a)→H1(K).显然(1)满足,并根据命题A.12,KerΦ是π1(|K|,a)的换位子群.
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假设对于2维单形不多于k个的情形上述断言成立.设K有k+1个2维单形.取记则L仍是K1的极大树,且bs,zs等概念都不改变.由归纳假设,存在同态Φ1∶π1(|K1|,a)→H1(K1),满足条件(1)和(2).
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记
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s=a1a2, sˈ=a2a3, s″=a3a1;
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则Φ1(〈b〉)=〈z〉,并且(这里α是从a1出发绕一周又回到a1的道路)(图6-15),
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图6-15
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z=a1a2+a2a3+a3a1=∂a1a2a3.
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根据Van-Kampen定理,
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π1(|K|,a)=π1(|K1|,a)/[〈b〉],
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按照同调群的定义,若记≪z≫是〈z〉生成的H1(K1)的子群,则
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H1(K)=H1(K1)/≪z≫.
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由φ1(〈b〉)=〈z〉得到φ1([〈b〉])=≪z≫.于是(用命题A.11),存在同态φ∶π1(|K|,a)→H1(K)使得下面图表可交换:
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