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∀s∈T1（K），设s＝aiaj．记zs＝ci＋aiaj－cj，是从ai到aj的线性道路），则zs是闭链，bs是a处的闭路．对KL中每个1维单形取定定向，并排列为｛s1，s2，…，sm｝，它们决定m个1维闭链和a处的m条闭路类似于命题6.3可以证明：是Z1（K）的基．
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下面归纳地（对K中2维单形的个数作归纳）证明存在同态Φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K），使得
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（1）Φ（〈bs〉）＝〈zs〉，∀s∈T1（K）；
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（2）KerΦ是π1（｜K｜，a）的换位子群．
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若K没有2维单形，则用Van-Kampen定理可以证明，π1（｜K｜，a）由自由生成，H1（K）＝Z1（K）由自由生成．规定Φ（〈bs〉）＝〈zs〉，∀s∈T1（K），则Φ决定一个同态Φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K）．显然（1）满足，并根据命题A.12，KerΦ是π1（｜K｜，a）的换位子群．
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假设对于2维单形不多于k个的情形上述断言成立．设K有k＋1个2维单形．取记则L仍是K1的极大树，且bs，zs等概念都不改变．由归纳假设，存在同态Φ1∶π1（｜K1｜，a）→H1（K1），满足条件（1）和（2）．
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记
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s＝a1a2， sˈ＝a2a3， s″＝a3a1；
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则Φ1（〈b〉）＝〈z〉，并且（这里α是从a1出发绕一周又回到a1的道路）（图6-15），
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图6-15
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z＝a1a2＋a2a3＋a3a1＝∂a1a2a3．
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根据Van-Kampen定理，
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π1（｜K｜，a）＝π1（｜K1｜，a）/［〈b〉］，
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按照同调群的定义，若记≪z≫是〈z〉生成的H1（K1）的子群，则
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H1（K）＝H1（K1）/≪z≫．
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由φ1（〈b〉）＝〈z〉得到φ1（［〈b〉］）＝≪z≫．于是（用命题A.11），存在同态φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K）使得下面图表可交换：
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