打字猴:1.70104628e+09

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1701046282 设K不连通，K＝K1∪K2，其中K1和K2是不相交子复形．显然Cq（K）＝Cq（K1）Cq（K2），∀q∈Z，并且∂q把Cq（Ki）映到Cq-1（Ki）中，i＝1，2．于是Zq（K）＝Zq（K1）Zq（K2）．类似地有Bq（K）＝Bq（K1）Bq（K2）．由此立即得出

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1701046285 Hq（K）＝Hq（K1）Hq（K2）．

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1701046287 以上结果可推广到K分解成多个不相交子复形的并集的情形，于是有

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1701046289 定理6.2（直和分解定理）　设复形K的连通分支为K1，K2，…，Kr，则∀q∈Z，

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1701046294 3.2　0维同调群的几何意义

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1701046296 命题6.5　复形K的0维同调群是自由交换群，它的秩等于K的连通分支数．

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1701046298 证明　根据直和分解定理，只须证明连通复形的0维同调群是自由循环群．

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1701046306 设是K的全部顶点，则Z0（K）＝C0（K）由生成．∀ai，aj，由于K连通，存在1维简单链c1分别以ai和aj为起、终点（§2习题7），于是aj－ai＝∂c1，aj～ai．设c∈C0（K），则记称为c的指数，则〈c〉＝d〈c〉〈a1〉．因此H0（K）是由〈a1〉生成的循环群．下面计算〈a1〉的阶．

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1701046308 不难看出d（c＋c′）＝d（c）＋d（c′），∀s∈T1（K），d（∂1s）＝0．设n〈a1〉＝0，则na1∈B0（K），因而有c1＝∑ιisi∈C1（K），使得na1＝∂c1．于是n＝d（∂c1）＝d（∑ιi∂si）＝∑ιid（∂si）＝0．得出〈a1〉的阶为0，因此它自由生成H0（K），H0（K）是自由循环群．　▎

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1701046310 *3.3　1维同调群与基本群的关系

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1701046312 当K是连通复形时，H1（K）和π1（｜K｜）都反映了｜K｜上“洞”的个数，而一般地它们是不相同的，H1（K）是交换群，π1（｜K｜）可能不是交换群，事实上，这两个群之间有着密切的关系．

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1701046314 定理6.3　当复形K连通时，H1（K）同构于π1（｜K｜）的交换化．

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