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设K不连通,K=K1∪K2,其中K1和K2是不相交子复形.显然Cq(K)=Cq(K1)Cq(K2),∀q∈Z,并且∂q把Cq(Ki)映到Cq-1(Ki)中,i=1,2.于是Zq(K)=Zq(K1)Zq(K2).类似地有Bq(K)=Bq(K1)Bq(K2).由此立即得出
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Hq(K)=Hq(K1)Hq(K2).
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以上结果可推广到K分解成多个不相交子复形的并集的情形,于是有
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定理6.2(直和分解定理) 设复形K的连通分支为K1,K2,…,Kr,则∀q∈Z,
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3.2 0维同调群的几何意义
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命题6.5 复形K的0维同调群是自由交换群,它的秩等于K的连通分支数.
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证明 根据直和分解定理,只须证明连通复形的0维同调群是自由循环群.
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设是K的全部顶点,则Z0(K)=C0(K)由生成.∀ai,aj,由于K连通,存在1维简单链c1分别以ai和aj为起、终点(§2习题7),于是aj-ai=∂c1,aj~ai.设c∈C0(K),则记称为c的指数,则〈c〉=d〈c〉〈a1〉.因此H0(K)是由〈a1〉生成的循环群.下面计算〈a1〉的阶.
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不难看出d(c+c′)=d(c)+d(c′),∀s∈T1(K),d(∂1s)=0.设n〈a1〉=0,则na1∈B0(K),因而有c1=∑ιisi∈C1(K),使得na1=∂c1.于是n=d(∂c1)=d(∑ιi∂si)=∑ιid(∂si)=0.得出〈a1〉的阶为0,因此它自由生成H0(K),H0(K)是自由循环群. ▎
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*3.3 1维同调群与基本群的关系
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当K是连通复形时,H1(K)和π1(|K|)都反映了|K|上“洞”的个数,而一般地它们是不相同的,H1(K)是交换群,π1(|K|)可能不是交换群,事实上,这两个群之间有着密切的关系.
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定理6.3 当复形K连通时,H1(K)同构于π1(|K|)的交换化.
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证明 因为(见§1习题10),(命题6.4),所以不妨假定K是2维复形.
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取定K的一个极大树L和一个顶点a.则∀ai∈K0,存在L中从a到ai的唯一1维简单链ci,它又决定|L|中从a到ai的道路wi(在图6-14中,ci=aaj+ajak+akai).
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图6-14
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