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c′=n1a1a5+n2a5a2+n3a2a6+n4a6a3+n5a3a4+n6a4a1如果c∈Z1(K),则c′∈Z1(K),因此
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0=∂c′=(n6-n1)a1+(n2-n3)a2+(n4-n5)a3
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+(n5-n6)a4+(n1-n2)a5+(n3-n4)a6,
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从而n1=n2=…=n6.记
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z=a1a5+a5a2+a2a6+a6a3+a3a4+a4a1.
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则c′=n1z,〈c〉=n1〈z〉.这说明H1(K)是由〈z〉生成的循环群.剩下只用计算〈z〉的阶.设m〈z〉=0,则有使得∂2c=mz.∂2c和mz在a1a2的值分别为n1和0,因此n1=0.同理可得n2=…=n6=0,即c=0,从而m=0.于是〈z〉是0阶的,
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图6-17
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例4 设K是环面的一个剖分(图6-17).如图中所示,取定2维单形的定向,并记作σi(i=1,…,18).
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Hq(K)=0,当q≠0,1,2时.
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记它们是1维闭链;记不难验证z2∈Z2(K).
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注意到任何两个相邻的2维定向单形在它们的公共面上诱导出相反的定向,例如a5a1是σ1的顺向面,而a1a5是σ2的顺向面.于是若c∈C2(K),则∂2c在a1a5上取值为0c在σ1与σ2上取值相同.于是,c∈Z2(K)c在每个σi上取同样的秩n,也就是说c=nz2.因此Z2(K)是z2生成的自由循环群,
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设c∈C1(K),用例3中的办法,可以用σ14消去a7a2,用σ7消去a7a8,……最后
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c~c′=n1a1a2+n2a2a3+n3a3a1+n4a1a4+n5a4a7
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+n6a7a1+n7a2a5+n8a5a8+n9a3a6+n10a6a9.
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当c是闭链时,∂1c′=0,可推出n7=n8=n9=n10=0,n1=n2=n3,n4=n5=n6.于是
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