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注意到任何两个相邻的2维定向单形在它们的公共面上诱导出相反的定向，例如a5a1是σ1的顺向面，而a1a5是σ2的顺向面．于是若c∈C2（K），则∂2c在a1a5上取值为0c在σ1与σ2上取值相同．于是，c∈Z2（K）c在每个σi上取同样的秩n，也就是说c＝nz2．因此Z2（K）是z2生成的自由循环群，
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设c∈C1（K），用例3中的办法，可以用σ14消去a7a2，用σ7消去a7a8，……最后
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c～c′＝n1a1a2＋n2a2a3＋n3a3a1＋n4a1a4＋n5a4a7
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＋n6a7a1＋n7a2a5＋n8a5a8＋n9a3a6＋n10a6a9．
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当c是闭链时，∂1c′＝0，可推出n7＝n8＝n9＝n10＝0，n1＝n2＝n3，n4＝n5＝n6．于是
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因此〈z1〉和生成H1（K）．
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若则有c∈C2（K），由于在K“内部”的1维定向单形上取值为0，可推出c＝kz2，从而∂2c＝0，得到n＝m＝0．这样H1（K）是以〈z1〉和为基的自由群，
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例5 K是射影平面P2的剖分，图6-18标出了它的10个2维单形的定向和名称．
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Hq（K）＝0， q≠0，1，2．
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图6-18
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令z1＝a1a2＋a2a3＋a3a1．，类似于例4，一个2维链c，如果∂2c中不出现“内部”的1维单形，则c＝nc2．不难算出∂2c2＝2z1，因此nc2∈Z2（K）n＝0．这样H2（K）＝Z2（K）＝0．
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用前两例的办法可说明，K的1维闭链同调于z1的整数倍，即H1（K）是〈z1〉生成的循环群．又因为2z1＝∂2c2，所以〈z1〉是2阶的，
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从上面的计算结果得K的各维Betti数为：β0＝1，β1＝β2＝0，x（K）＝0－0＋1＝1．
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如果用Z2域作为系数群，则∂2c2＝0，c2是闭链，H0（K；Z2）和H1（K；Z2）也是Z2．因此d1＝d2＝d0＝1，x（K）＝1－1＋1＝1．