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例3 设K是平环的一个剖分（图6-16）．它的6个二维单形都取逆时针定向，并分别记作σ1，σ2，…，σ6，如图中所标出．
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K是连通的，因此当q≠0，1，2时．
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K是2维复形，因此H2（K）＝Z2（K）．设则
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于是∂2c＝0n1＝n2＝…＝n6＝0，即Z2（K）＝0，H2（K）＝0．
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计算H1（K）．设c∈C1（K），若c在a1a2上取值为k．则c－∂kσ1在a1a2上取值为0，它同调于c．我们称这个步骤为用σ1消去c中的a1a2．还可用σ2消去a5a6，用σ3，σ4，σ5和σ6分别消去a2a3，a4a6，a3a1和a4a5，于是c同调于链
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c′＝n1a1a5＋n2a5a2＋n3a2a6＋n4a6a3＋n5a3a4＋n6a4a1如果c∈Z1（K），则c′∈Z1（K），因此
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0＝∂c′＝（n6－n1）a1＋（n2－n3）a2＋（n4－n5）a3
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＋（n5－n6）a4＋（n1－n2）a5＋（n3－n4）a6，
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从而n1＝n2＝…＝n6．记
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z＝a1a5＋a5a2＋a2a6＋a6a3＋a3a4＋a4a1．
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则c′＝n1z，〈c〉＝n1〈z〉．这说明H1（K）是由〈z〉生成的循环群．剩下只用计算〈z〉的阶．设m〈z〉＝0，则有使得∂2c＝mz．∂2c和mz在a1a2的值分别为n1和0，因此n1＝0．同理可得n2＝…＝n6＝0，即c＝0，从而m＝0．于是〈z〉是0阶的，
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图6-17
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例4 设K是环面的一个剖分（图6-17）．如图中所示，取定2维单形的定向，并记作σi（i＝1，…，18）．
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Hq（K）＝0，当q≠0，1，2时．
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记它们是1维闭链；记不难验证z2∈Z2（K）．
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