1701046805
1701046806
（这里两个边缘同态分别是K和L上的，我们在记号上不加区别）．
1701046807
1701046808
证明 只须对K的q维定向单形σ验证
1701046809
1701046810
1701046811
1701046812
∂qφq（σ）＝φq－1∂q（σ）．
1701046813
1701046814
设σ＝a0a1…aq．如果φ在σ上非退化，则
1701046815
1701046816
1701046817
1701046818
1701046819
1701046820
1701046821
1701046822
如果φ在σ上退化，则∂qφq（σ）＝0．对φq－1∂q（σ）分两种情形讨论．若｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝中不相同顶点不多于q－1个，则φ在σ的每个q－1维面上都退化，因此有φq－1∂q（σ）＝0．若｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝中不相同顶点有q个，即只有一对相同，不妨设φ（a0）＝φ（a1），此时
1701046823
1701046824
1701046825
1701046826
1701046827
1701046828
1701046829
1701046830
1701046831
1701046832
总之，在任何情形，等式∂qφq（σ）＝φq－1∂q（σ）都成立． ▎
1701046833
1701046834
我们规定了与边缘同态交换的一系列同态｛φq∶Cq（K）→Cq（L）｜q∈Z｝，称为从链复形C（K）到C（L）的链映射．
1701046835
1701046836
命题7.3 若｛φq｝是单纯映射φ∶K→L诱导的链映射．则φq（Zq（K））⊂Zq（L），φq（Bq（K））⊂Bq（L）．
1701046837
1701046838
证明 若z∈Zq（K），则∂q（φq（z））＝φq－1（∂q（z））＝0，因此φq（z）∈Zq（L）；若b∈Bq（K），设b＝∂q＋1c，则
1701046839
1701046840
φq（b）＝φq（∂q＋1（c））＝∂q＋1（φq＋1（c））．
1701046841
1701046842
因此φq（b）∈Bq（L）． ▎
1701046843
1701046844
定义7.2 设φ∶K→L是单纯映射．∀q∈Z，规定同态φ*q∶Hq（K）→Hq（L）为：∀〈z〉∈Hq（K），令
1701046845
1701046846
φ*q（〈z〉）＝〈φq（z）〉，
1701046847
1701046848
称φ*q为φ诱导的同调群同态．
1701046849
1701046850
命题7.3只用到｛φq｝是链映射的性质，即它与边缘同态的交换性质．因此，两个链复形之间的任何链映射都诱导同调群的同态．
1701046851
1701046852
1701046853
命题7.4 设φ∶K→L和ψ∶L→M都是单纯映射，则ψφK→M也是单纯映射，并且
1701046854