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如果φ在σ上退化，则∂qφq（σ）＝0．对φq－1∂q（σ）分两种情形讨论．若｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝中不相同顶点不多于q－1个，则φ在σ的每个q－1维面上都退化，因此有φq－1∂q（σ）＝0．若｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝中不相同顶点有q个，即只有一对相同，不妨设φ（a0）＝φ（a1），此时
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总之，在任何情形，等式∂qφq（σ）＝φq－1∂q（σ）都成立． ▎
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我们规定了与边缘同态交换的一系列同态｛φq∶Cq（K）→Cq（L）｜q∈Z｝，称为从链复形C（K）到C（L）的链映射．
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命题7.3 若｛φq｝是单纯映射φ∶K→L诱导的链映射．则φq（Zq（K））⊂Zq（L），φq（Bq（K））⊂Bq（L）．
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证明 若z∈Zq（K），则∂q（φq（z））＝φq－1（∂q（z））＝0，因此φq（z）∈Zq（L）；若b∈Bq（K），设b＝∂q＋1c，则
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φq（b）＝φq（∂q＋1（c））＝∂q＋1（φq＋1（c））．
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因此φq（b）∈Bq（L）． ▎
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定义7.2 设φ∶K→L是单纯映射．∀q∈Z，规定同态φ*q∶Hq（K）→Hq（L）为：∀〈z〉∈Hq（K），令
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φ*q（〈z〉）＝〈φq（z）〉，
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称φ*q为φ诱导的同调群同态．
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命题7.3只用到｛φq｝是链映射的性质，即它与边缘同态的交换性质．因此，两个链复形之间的任何链映射都诱导同调群的同态．
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命题7.4 设φ∶K→L和ψ∶L→M都是单纯映射，则ψφK→M也是单纯映射，并且
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（ψφ）*q＝ψ*qφ*q， ∀q∈Z．
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（证明留给读者．） ▎
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1.2 单纯逼近
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单纯逼近是连结连续映射和单纯映射的桥梁，借助它我们能利用单纯映射来规定连续映射所诱导的同调群的同态．
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下面假设X和Y都是多面体，K和L分别是它们的剖分．
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定义7.3 设f∶X→Y是连续映射，φ∶K→L是单纯映射，称φ是f的一个单纯逼近，如果φ满足条件
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