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∀x∈X, (1)
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这里是φ决定的连续映射.
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条件(1)要求和f(x)在L的同一单形CarLf(x)中(f(x)是其内点,不必是内点),这就是“逼近”的含义.利用直线同伦,知道
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下面给出单纯逼近的另一种描述形式,它具有更强的几何直观性.需要用到一个新概念.
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定义7.4 设K是复形,a∈K0,a的星形是|K|的子集,记作StKa,规定为
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StKa∶={x∈|K|│a≺CarKx}.
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于是x∈StKa等价于a≺CarKx.
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图7-1是由3个2维单形及它们的面构成的复形K.以a1为顶点的单形有(a1,a2,a5),(a1,a2),(a1,a5)以及顶点a1本身,它们的内点构成StKa1,于是StKa1=(a1,a2,a5)(a2,a5)StKa2=|K|((a1,a5)∪(a5,a4)∪(a3,a4)).
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图7-1
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不难看出,当x∈StKa时,线段因此StKa是由从a辐射出的许多线段构成.沿着这些线段,StKa可形变收缩到a.
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命题7.5 StKa是|K|的开子集.
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证明 只须证明|K|StKa是闭集.
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记则L是K的子复形,并且
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因此|K|StKa是紧致的,从而是|K|的闭集. ▎
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显然,{StKa|a∈K0}是|K|的一个开覆盖.
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命题7.6 单纯映射φ∶K→L是连续映射f∶X→Y的单纯逼近的一个充分必要条件是
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∀a∈K0,f(StKa)⊂StLφ(a). (2)
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证明 条件(1)也就是
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