1701046918
1701046919
∀x∈X, (1′)
1701046920
1701046921
1701046922
因为(习题3),所以(1′)可改写成
1701046923
1701046924
φ(CarKx)≺CarLf(x), ∀x∈X. (1″)
1701046925
1701046926
根据单纯映射的定义,它又可改写为
1701046927
1701046928
∀x∈X,a∈K0,若a≺CarKx,则φ(a)≺CarLf(x),
1701046929
1701046930
或用星形概念写出为
1701046931
1701046932
∀a∈K0,x∈X,若x∈StKa,则f(x)∈StLφ(a),
1701046933
1701046934
这就是(2). ▎
1701046935
1701046936
1701046937
1701046938
推论 如果φ∶K→L是f∶X→Y的单纯逼近ψ∶L→M是g∶Y→Z的单纯逼近,则ψφ是gf的单纯逼近. ▎
1701046939
1701046940
(请读者自己验证.)
1701046941
1701046942
1701046943
1701046944
1701046945
图7-2
1701046946
1701046947
1701046948
例 如图7-2所示,K是1维单形(a1,a2)的闭包复形,L由2维单形(b0,b1,b2),(b1,b2,b3),(b2,b3,b4)以及它们的所有面构成.f∶|K|→|L|是一个嵌入映射,f(a1)在(b0,b1)内,f(a2)在(b2,b3,b4)内,的中点c的像点f(c)在(b1,b2,b3)内.对这个f,没有一个单纯映射φ∶K→L能作为它的单纯逼近.事实上,StKa1是|K|{a2},f(StKa1)不在L的任何星形中.
1701046949
1701046950
1701046951
1701046952
如果增添顶点c,得到|K|的另一剖分K′.则f有从K′到L的单纯逼近.事实上,因此由顶点映射
1701046953
1701046954
1701046955
1701046956
1701046957
a1b1, cb2, a2b2(或b3)
1701046958
1701046959
决定的单纯映射是f的单纯逼近.
1701046960
1701046961
这个例子说明,对取定的剖分K,L,连续映射f∶X→Y不一定有单纯逼近.一般来说,剖分K越细致(它的星形越小),L越粗(它的星形越大),单纯逼近存在的可能性越大.下面的定理给出更确切的说明.
1701046962
1701046963
1701046964
定理7.1 设K,L分别是多面体X,Y的剖分,f∶X→Y连续,则f存在K到L的单纯逼近∀a∈K0,存在b∈L0,使得f(StKa)⊂StLb.(这个条件称作f对K,L具有星形性质).
1701046965
1701046966
1701046967
证明 .设φ∶K→L是单纯逼近,由条件(2)知,∀a∈K0,f(StKa)⊂StLφ(a),取b=φ(a)即可.
[
上一页 ]
[ :1.701046918e+09 ]
[
下一页 ]