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∀x∈X， （1′）
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因为（习题3），所以（1′）可改写成
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φ（CarKx）≺CarLf（x）， ∀x∈X． （1″）
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根据单纯映射的定义，它又可改写为
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∀x∈X，a∈K0，若a≺CarKx，则φ（a）≺CarLf（x），
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或用星形概念写出为
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∀a∈K0，x∈X，若x∈StKa，则f（x）∈StLφ（a），
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这就是（2）． ▎
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推论 如果φ∶K→L是f∶X→Y的单纯逼近ψ∶L→M是g∶Y→Z的单纯逼近，则ψφ是gf的单纯逼近． ▎
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（请读者自己验证．）
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图7-2
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例 如图7-2所示，K是1维单形（a1，a2）的闭包复形，L由2维单形（b0，b1，b2），（b1，b2，b3），（b2，b3，b4）以及它们的所有面构成．f∶｜K｜→｜L｜是一个嵌入映射，f（a1）在（b0，b1）内，f（a2）在（b2，b3，b4）内，的中点c的像点f（c）在（b1，b2，b3）内．对这个f，没有一个单纯映射φ∶K→L能作为它的单纯逼近．事实上，StKa1是｜K｜｛a2｝，f（StKa1）不在L的任何星形中．
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如果增添顶点c，得到｜K｜的另一剖分K′．则f有从K′到L的单纯逼近．事实上，因此由顶点映射
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a1b1， cb2， a2b2（或b3）
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决定的单纯映射是f的单纯逼近．
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这个例子说明，对取定的剖分K，L，连续映射f∶X→Y不一定有单纯逼近．一般来说，剖分K越细致（它的星形越小），L越粗（它的星形越大），单纯逼近存在的可能性越大．下面的定理给出更确切的说明．
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定理7.1 设K，L分别是多面体X，Y的剖分，f∶X→Y连续，则f存在K到L的单纯逼近∀a∈K0，存在b∈L0，使得f（StKa）⊂StLb．（这个条件称作f对K，L具有星形性质）．
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证明 ．设φ∶K→L是单纯逼近，由条件（2）知，∀a∈K0，f（StKa）⊂StLφ（a），取b＝φ（a）即可．