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证明 先证明存在的顶点a，使得d（x，y）≤d（x，a）．取a是的顶点中到x最远的．设r＝d（x，a），则闭球形邻域是凸集，它包含的每个顶点，从而因此d（x，y）≤r＝d（x，a）．用a代替x，作同样论证，可找到的另一顶点b，使得d（x，a）≤d（a，b）≤Mesh（K）． ▎
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命题7.7的一个推论是：∀x∈StKa，则d（a，x）≤Mesh（K）．
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命题7.8 若K是n维复形，则
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证明 只用证明K（1）的任一1维单形的长度不大于不妨设记则
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（图7-5是q＝2，p＝3的情形．）于是
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图7-5
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由于重心重分不改变维数，从命题7.8得到
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定理7.2（单纯逼近存在定理） 设K，L是复形，f∶｜K｜→｜L｜是连续映射，则对足够大的r，存在f的单纯逼近φ∶K（r）→L．
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证明 因为｛StLb｜b∈L0｝是｜L｜的开覆盖，所以｛f-1（StLb）｜b∈L0｝是｜K｜的开覆盖．记δ是它的Lebesgue数．取r∈N，使得（这里n＝dimK）．于是∀a∈K（r），StK（r）a⊂B（a，δ）（见命题7.7后的推论）．根据命题2.12，B（a，δ）包含在某个f-1（StLb）中，从而f（StK（r）a）⊂StLb．由定理7.1得到结论． ▎
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习 题
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