打字猴:1.701047197e+09

1701047197 基础拓扑学讲义 [:1701040236]

1701047198 §3　连续映射诱导的同调群同态

1701047199

1701047200 设K和L是多面体，f∶｜K｜→｜L｜是连续映射．本节要规定f诱导的同态f*q∶Hq（K）→Hq（L）．尽管有了上节的准备，我们还有不少工作要做．其中有些比较困难，涉及到一些新概念．为了不让它们掩盖整个过程的思路，我们把它们移出正文，放在附录C中．

1701047201

1701047202 通过上节的准备，规定f*q的途径已很明显了：重心重分保证f有单纯逼近，用单纯逼近导出的同态来规定f*q．但是我们马上面临着两个问题．首先，f的单纯逼近φ如果是从K（r）到L的，它导出的是Hq（K（r））到Hq（L）的同态．那么Hq（K（r））与Hq（K）有何关系？其次，单纯逼近并不是唯一的，那么不同的单纯逼近导出的同态是否一样？

1701047203

1701047204 附录C对第二个问题已有直接的回答．

1701047205

1701047206 定理C.2　如果φ，ψ∶K→L都是连续映射f∶｜K｜→｜L｜的单纯逼近，则φ*q＝ψ*q∶Hq（K）→Hq（L），∀q∈Z．

1701047207

1701047208 下面来回答第一个问题．

1701047209

1701047210 3.1　同调群的重分不变性

1701047211

1701047212

1701047213

1701047214

1701047215 我们要证明由此得到∀q∈Z，∀r∈N．

1701047216

1701047217 先规定C（K（1））到C（K）的链映射．

1701047218

1701047219

1701047220

1701047221

1701047222

1701047223

1701047224 设a是的任一顶点，则（§2习题2）．于是恒同映射id∶｜K（1）｜→｜K｜对K（1）和K有星形性质，从而有从K（1）到K的单纯逼近：规定顶点映射；π∶（K（1））0→K0，使得是的顶点，则π可扩张为id的单纯逼近，把它所决定的链映射称为标准链映射．标准链映射并不是唯一的，但是定理C.2说明标准链映射诱导的同调群同态是唯一的．以后把id的上述单纯逼近和标准链映射都记作π（不论对哪个复形K）．

1701047225

1701047226 我们还需要构造重分链映射η＝｛ηq｝∶C（K）→C（K（1）），它不是由单纯映射决定的．

1701047227

1701047228