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对所有复形K,都用η表示重分链映射.
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对于任意自然数r,记ηr是r个重分链映射
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的复合(每个η的含义不同).按这种约定,有
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ηr+s=ηrηs.
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同样,记πr∶C(K(r))→C(K)是r个标准链映射(每个的含义不同)的复合,它由id∶|K(r)|→|K|的单纯逼近所导出,并且也有
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πr+s=πrπs.
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我们有互逆的同构
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∀q∈Z.
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3.2 f*q的规定
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命题7.9 如果φ∶K(r)→L和ψ∶K(r+s)→L都是f∶|K|→|L|的单纯逼近,则∀q∈Z.
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证明 见下图表.因为φπs∶K(r+s)→L也是f的单纯逼近,所以有(定理C.2)
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∀q∈Z.
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于是
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∀q∈Z. ▎
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现在我们可以给出下面的定义.
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定义7.6 设K,L是复形,f∶|K|→|L|是连续映射,取φ∶K(r)→K是f的单纯逼近,规定f诱导的同调群同态为
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∀q∈Z.
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命题7.10 (1)设K是多面体,则恒同映射id∶|K|→|K|导出的同调群同态id*q∶Hq(K)→Hq(K)是恒同同构.
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