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（2）设K，L和M都是复形，f∶｜K｜→｜L｜和g∶｜L｜→｜M｜都是连续映射，则
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（gf）*q＝g*qf*q∶Hq（K）→Hq（M）， ∀q∈Z．
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证明 （1）取K到自身的恒同单纯映射作为id∶｜K｜→｜K｜的单纯逼近就可得到结论．
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（2）在下面的图表中，ψ∶L（s）→M是g的单纯逼近，φ∶K（r）→L（s）是f的单纯逼近．于是πsφ∶K（r）→L也是f的单纯逼近，ψφ∶K（r）→M是gf的单纯逼近，由定义
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因此（gf）*q＝g*qf*q． ▎
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从这个命题可以推出同调群的拓扑不变性．
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定理7.4 设K，L是复形．如果f∶｜K｜→｜L｜是同胚映射，则f*q∶Hq（K）→Hq（L）是同构，∀q∈Z．
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证明 记g＝f-1∶｜L｜→｜K｜．根据命题7.10，g*qf*q＝（gf）*q＝id*q是恒同同构．同理，f*qg*q也是恒同同构．于是f*q是同构，g*q是它的逆． ▎
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定理说明，复形K的各维同调群Hq（K）的同构类型是由｜K｜所决定的，即是｜K｜的拓扑不变量（拓扑性质）．这样，K的各维Betti数βq和Euler示性数也都是｜K｜的拓扑不变量．
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3.3 多面体与可剖分空间的同调群
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定理7.4说明，同一个多面体的不同剖分有同构的同调群．设｜K｜＝｜L｜，则恒同映射id∶｜K｜→｜L｜决定了Hq（K）与Hq（L）间的一个同构．以后，我们规定多面体的同调群就是它的剖分的同调群，它在同构型的意义下是确定的．
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设X，Y都是多面体，Ki，Li是它们的剖分，i＝1，2．如果f∶X→Y是连续映射，则f诱导出两组同态｛f*q∶Hq（K1）→Hq（L1）｝和｛f*q∶Hq（K2）→Hq（L2）｝，它们使下面图表可交换：
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∀q∈Z．正如可用X和Y的任意剖分的同调群看作Hq（X）和Hq（Y）那样，可以用上面任一组同态看作同态组
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｛f*q∶Hq（X）→Hq（Y）｝．
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类似地可规定可剖分空间的同调群以及可剖分空间之间的连续映射诱导的同调群同态．