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证明 记g＝f-1∶｜L｜→｜K｜．根据命题7.10，g*qf*q＝（gf）*q＝id*q是恒同同构．同理，f*qg*q也是恒同同构．于是f*q是同构，g*q是它的逆． ▎
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定理说明，复形K的各维同调群Hq（K）的同构类型是由｜K｜所决定的，即是｜K｜的拓扑不变量（拓扑性质）．这样，K的各维Betti数βq和Euler示性数也都是｜K｜的拓扑不变量．
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3.3 多面体与可剖分空间的同调群
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定理7.4说明，同一个多面体的不同剖分有同构的同调群．设｜K｜＝｜L｜，则恒同映射id∶｜K｜→｜L｜决定了Hq（K）与Hq（L）间的一个同构．以后，我们规定多面体的同调群就是它的剖分的同调群，它在同构型的意义下是确定的．
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设X，Y都是多面体，Ki，Li是它们的剖分，i＝1，2．如果f∶X→Y是连续映射，则f诱导出两组同态｛f*q∶Hq（K1）→Hq（L1）｝和｛f*q∶Hq（K2）→Hq（L2）｝，它们使下面图表可交换：
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∀q∈Z．正如可用X和Y的任意剖分的同调群看作Hq（X）和Hq（Y）那样，可以用上面任一组同态看作同态组
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｛f*q∶Hq（X）→Hq（Y）｝．
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类似地可规定可剖分空间的同调群以及可剖分空间之间的连续映射诱导的同调群同态．
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设X是可剖分空间，（K1，φ1）和（K2，φ2）都是X的剖分，则是同胚，它诱导Hq（K1）到Hq（K2）的同构．我们规定X的同调群就是它的任一剖分中多面体的同调群．
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设X和Y都是可剖分空间，（K，φ）和（L，ψ）分别是它们的剖分．如果f∶X→Y是连续映射，则ψ-1fφ∶｜K｜→｜L｜连续．我们把（ψ-1fφ）*q看作f*q∶Hq（X）→Hq（Y），∀q∈Z．（相应地认为Hq（X）＝Hq（K），Hq（Y）＝Hq（L）．）
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在上述意义下，类似于命题7.10的结果仍成立．
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命题7.11 （1）设id∶X→X是可剖分空间（多面体）X上的恒同映射，则id*q∶Hq（X）→Hq（X）是恒同同构．
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（2）设X，Y和Z都是可剖分空间（多面体），f∶X→Y和g∶Y→Z都是连续映射，则
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（gf）*q＝g*qf*q∶Hq（X）→Hq（Z）， ∀q∈Z． ▎
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下面列出已计算出的几个空间的同调群．
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n维球面Sn同胚于n＋1维单形的边缘复形，因此从第六章§4的例2知道（n＞0时）
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从第六章§4的例3知道，若X是平环，则