1701047318
1701047319
证明 见下图表．因为φπs∶K（r＋s）→L也是f的单纯逼近，所以有（定理C.2）
1701047320
1701047321
1701047322
1701047323
1701047324
1701047325
∀q∈Z．
1701047326
1701047327
于是
1701047328
1701047329
1701047330
∀q∈Z． ▎
1701047331
1701047332
现在我们可以给出下面的定义．
1701047333
1701047334
定义7.6 设K，L是复形，f∶｜K｜→｜L｜是连续映射，取φ∶K（r）→K是f的单纯逼近，规定f诱导的同调群同态为
1701047335
1701047336
1701047337
∀q∈Z．
1701047338
1701047339
命题7.10 （1）设K是多面体，则恒同映射id∶｜K｜→｜K｜导出的同调群同态id*q∶Hq（K）→Hq（K）是恒同同构．
1701047340
1701047341
（2）设K，L和M都是复形，f∶｜K｜→｜L｜和g∶｜L｜→｜M｜都是连续映射，则
1701047342
1701047343
1701047344
1701047345
（gf）*q＝g*qf*q∶Hq（K）→Hq（M）， ∀q∈Z．
1701047346
1701047347
证明 （1）取K到自身的恒同单纯映射作为id∶｜K｜→｜K｜的单纯逼近就可得到结论．
1701047348
1701047349
1701047350
1701047351
1701047352
（2）在下面的图表中，ψ∶L（s）→M是g的单纯逼近，φ∶K（r）→L（s）是f的单纯逼近．于是πsφ∶K（r）→L也是f的单纯逼近，ψφ∶K（r）→M是gf的单纯逼近，由定义
1701047353
1701047354
1701047355
1701047356
1701047357
1701047358
1701047359
1701047360
1701047361
1701047362
因此（gf）*q＝g*qf*q． ▎
1701047363
1701047364
从这个命题可以推出同调群的拓扑不变性．
1701047365
1701047366
定理7.4 设K，L是复形．如果f∶｜K｜→｜L｜是同胚映射，则f*q∶Hq（K）→Hq（L）是同构，∀q∈Z．
1701047367