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f*q＝（h0）*q＝（h1）*q＝g*q， ∀q∈Z． ▎
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命题7.12 设K和L是复形，f∶｜K｜→｜L｜是一个同伦等价，则f*q∶Hq（K）→Hq（L）是同构，∀q∈Z．
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证明 设g∶｜L｜→｜K｜是f的同伦逆，则
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g*qf*q＝（gf）*q＝id*q∶Hq（K）→Hq（K），
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f*qg*q＝（fg）*q＝id*q∶Hq（L）→Hq（L），
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因此f*q是同构，g*q＝（f*q）-1． ▎
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一个直接的推论是定理7.6．
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定理7.6 设K和L是复形，若则
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q∈Z． ▎
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4.2 同伦不变性在同调群的计算中的应用
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同伦不变性是计算同调群的有效工具，它常常可在很大程度上简化计算．例如，不难看出单纯锥的多面体是可缩空间，而显然由一个0维单形构成的多面体是零调的，即0维同调群是自由循环群，其他维同调群是零群．用同伦不变性立即推出单纯锥也是零调的（但第六章的计算还是必要的，在定义f*q的过程中要用到这个结果）．又如，平环与S1同伦等价，因此它的同调群与S1的同调群（即2维单形的边缘复形的同调群）同构．（对照第六章§4的例2与例3的结果．）下面再举几个例子．
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例1 Möbius带X的同调群．
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图7-10
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图7-10是X的一个剖分K的展开图．设L＝｛（a0，a2），（a2，a5），（a5，a0）；a0，a2，a5｝，它是K的子复形，并且｜L｜是｜K｜的形变收缩核．记i∶｜L｜→｜K｜是包含映射，则因此有
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并且，设z＝a0a2＋a2a5＋a5a0，则z是Z1（L）＝H1（L）的生成元，因而〈z〉是H1（K）的生成元．
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例2 Klein瓶的同调群．
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图7-11是Klein瓶的一个剖分K的展开图．
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