1701047545
1701047546
例1 Möbius带X的同调群．
1701047547
1701047548
1701047549
1701047550
1701047551
图7-10
1701047552
1701047553
1701047554
1701047555
图7-10是X的一个剖分K的展开图．设L＝｛（a0，a2），（a2，a5），（a5，a0）；a0，a2，a5｝，它是K的子复形，并且｜L｜是｜K｜的形变收缩核．记i∶｜L｜→｜K｜是包含映射，则因此有
1701047556
1701047557
1701047558
1701047559
1701047560
并且，设z＝a0a2＋a2a5＋a5a0，则z是Z1（L）＝H1（L）的生成元，因而〈z〉是H1（K）的生成元．
1701047561
1701047562
例2 Klein瓶的同调群．
1701047563
1701047564
图7-11是Klein瓶的一个剖分K的展开图．
1701047565
1701047566
1701047567
1701047568
1701047569
图7-11
1701047570
1701047571
H2（K）的计算类似于第六章§4的例4．对K的每个2维单形取相同的定向（譬如都取逆时针定向），所得18个2维定向单形是C2（K）的基．则2维链C是闭链的必要条件是c在这些2维定向单形上取相同的值．记c0是都取1的那个2维链，则2维闭链都应有nc0的形式．然而，在现在的情形∂2c0＝2z1，这里z1＝a0a1＋a1a2＋a2a0．因此只当n＝0时nc0才是闭链，即
1701047572
1701047573
H2（K）＝Z2（K）＝0．
1701047574
1701047575
1701047576
1701047577
1701047578
计算H1（K）．设子复形L是K的边框上的部分，记则｜L｜是｜K1｜的形变收缩核，从而i*q∶Hq（L）→Hq（K1）是同构．记z2＝a0a3＋a3a4＋a4a0，z＝∂2σ（σ＝a5a7a8）．
1701047579
1701047580
1701047581
根据§3中例1，H1（L）＝Z1（L）并以z1和z2作为基．于是由知，z1和z2在K1中的同调类〈z1〉和〈z2〉是H1（K1）的基．
1701047582
1701047583
从K1和K的关系不难看出
1701047584
1701047585
B1（K1）⊂B1（K）⊂Z1（K）＝Z1（K1）．
1701047586
1701047587
于是，用代数学的知识，有
1701047588
1701047589
1701047590
1701047591
1701047592
由于C2（K）只比C2（K1）多一个生成元σ，对∀b∈B1（K），有分解式b＝b′＋n∂2σ＝b′＋nz，其中b′∈B1（K1）．于是，B1（K）/B1（K1）是由〈z〉（z在K1中的同调类）生成的自由循环群（作为H1（K1）的子群，B1（K）/B1（K1）是自由群！）．注意到∂2（c0－σ）＝2z1－z，这说明在K1中z～2z1，因此B1（K）/B1（K1）就是H1（K1）中由2〈z1〉生成的子群．这样
1701047593
1701047594
