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q∈Z． ▎
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4.2 同伦不变性在同调群的计算中的应用
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同伦不变性是计算同调群的有效工具，它常常可在很大程度上简化计算．例如，不难看出单纯锥的多面体是可缩空间，而显然由一个0维单形构成的多面体是零调的，即0维同调群是自由循环群，其他维同调群是零群．用同伦不变性立即推出单纯锥也是零调的（但第六章的计算还是必要的，在定义f*q的过程中要用到这个结果）．又如，平环与S1同伦等价，因此它的同调群与S1的同调群（即2维单形的边缘复形的同调群）同构．（对照第六章§4的例2与例3的结果．）下面再举几个例子．
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例1 Möbius带X的同调群．
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图7-10
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图7-10是X的一个剖分K的展开图．设L＝｛（a0，a2），（a2，a5），（a5，a0）；a0，a2，a5｝，它是K的子复形，并且｜L｜是｜K｜的形变收缩核．记i∶｜L｜→｜K｜是包含映射，则因此有
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并且，设z＝a0a2＋a2a5＋a5a0，则z是Z1（L）＝H1（L）的生成元，因而〈z〉是H1（K）的生成元．
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例2 Klein瓶的同调群．
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图7-11是Klein瓶的一个剖分K的展开图．
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图7-11
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H2（K）的计算类似于第六章§4的例4．对K的每个2维单形取相同的定向（譬如都取逆时针定向），所得18个2维定向单形是C2（K）的基．则2维链C是闭链的必要条件是c在这些2维定向单形上取相同的值．记c0是都取1的那个2维链，则2维闭链都应有nc0的形式．然而，在现在的情形∂2c0＝2z1，这里z1＝a0a1＋a1a2＋a2a0．因此只当n＝0时nc0才是闭链，即
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H2（K）＝Z2（K）＝0．
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计算H1（K）．设子复形L是K的边框上的部分，记则｜L｜是｜K1｜的形变收缩核，从而i*q∶Hq（L）→Hq（K1）是同构．记z2＝a0a3＋a3a4＋a4a0，z＝∂2σ（σ＝a5a7a8）．
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根据§3中例1，H1（L）＝Z1（L）并以z1和z2作为基．于是由知，z1和z2在K1中的同调类〈z1〉和〈z2〉是H1（K1）的基．
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从K1和K的关系不难看出
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B1（K1）⊂B1（K）⊂Z1（K）＝Z1（K1）．
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于是，用代数学的知识，有
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