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由于C2（K）只比C2（K1）多一个生成元σ，对∀b∈B1（K），有分解式b＝b′＋n∂2σ＝b′＋nz，其中b′∈B1（K1）．于是，B1（K）/B1（K1）是由〈z〉（z在K1中的同调类）生成的自由循环群（作为H1（K1）的子群，B1（K）/B1（K1）是自由群！）．注意到∂2（c0－σ）＝2z1－z，这说明在K1中z～2z1，因此B1（K）/B1（K1）就是H1（K1）中由2〈z1〉生成的子群．这样
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我们得到Klein瓶的各维同调群为
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用同样的方法可计算出任何闭曲面的同调群．对可定向闭曲面，注意相应的c0是闭链，从而并且在K1中z～0，从而B1（K）＝B1（K1），我们列出闭曲面的同调群如下：
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可定向与不可定向闭曲面在2维同调群上显示了不同．由闭曲面的同调群可看出：两个闭曲面S与S′同胚S与S′同伦等价．
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习 题
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1．设X是可剖分空间，f∶X→Sn是连续映射，并且不满．证明f*n＝0 （n≥1）．
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2．把三角形的三个顶点粘在一起，所得商空间记作X．求X的同调群．
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3．把四边形的四条边如图7-12所示粘接在一起，记X是所得商空间．求X的同调群．
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图7-12
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4．设X是S2的赤道上粘接一条Möbius带．求X的同调群．
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5．设X由三个两两相切的球面构成．求X的同调群．
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① 本书中的单纯映射概念与一般书中不同，那里把命题7.1中的连续映射称作单纯映射．
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