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（1）∀n≥0，Sn不可缩，即与单点空间不同伦．
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n＝0显然；n＞0时，而Hn（｛p｝）＝0．
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（2）当n≠m时，
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设n＞m，则而Hn（Sm）＝0．
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（3）当n≠m时，
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否则，从而与（2）的结论矛盾．
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（4）
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（5）在O处没有同胚于En的开邻域，从而n维流形的边界点与内点的区分是有意义的．
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（4）和（5）可仿照第四章中关于n＝2的相应情形进行证明．
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本章中将讲几个深入一些的应用，涉及到映射度与不动点问题．
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基础拓扑学讲义 [:1701040239]
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§1 球面自映射的映射度
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1.1 球面自映射的映射度的定义与性质
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设f∶Sn→Sn，n≥1．f诱导出f*n∶Hn（Sn）→Hn（Sn）．由于f*n决定一个整数k，使得∀α∈Hn（Sn），f*n（α）＝kα．称整数k为f的映射度，记作deg（f）①．
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映射度有下列基本性质．
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命题8.1 （1）若f，g：Sn→Sn都连续，则
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deg（gf）＝deg（g）·deg（f）；
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（2）如果则
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deg（f）＝deg（g）；
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（3）如果f∶Sn→Sn零伦，则deg（f）＝0；