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（2）如果则
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deg（f）＝deg（g）；
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（3）如果f∶Sn→Sn零伦，则deg（f）＝0；
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（4）deg（id）＝1．
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证明 （1）和（4）分别由命题7.11的（2）和（1）推出；（2）由定理7.5得到；（3）由（2）推出（注意常值映射导出零同态）． ▎
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（2）是著名的Hopf映射度定理的一半，该定理说：n维球面的两个连续自映射同伦的充分必要条件是它们的映射度相等．这个定理的另一半的证明比较难，并且下面我们用到的只是（2），因此不给出Hopf定理完整的证明了．
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下面都是映射度的应用．作为映射度的直接应用，首先来完成Brouwer不动点定理的证明．
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第四章中已叙述了Brouwer不动点定理，并把它的证明归结到证明Sn－1上恒同映射不零伦．综合命题8.1的（3）与（4），直接得到这个断言，从而完成了Brouwer定理的证明．
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1.2 对径映射的映射度及其应用
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球面Sn看作En＋1中的单位球面，Sn的对径映射即Sn关于原点O的中心对称，记作h∶Sn→Sn．于是h（x）＝－x，∀x∈Sn．
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显然h2＝id，因此
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（deg（h））2＝deg（id）＝1，
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从而
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｜deg（h）｜＝1．
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剩下要决定deg（h）的正负性．
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命题8.2 设h∶Sn→Sn是对径映射，则
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deg（h）＝（－1）n＋1．
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证明 作复形Σn如下．
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记规定
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图8-1
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图8-1中画出了Σ2，它是正八面体的边界．
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