1701047740
1701047741
我们不难看出它也是关于原点O中心对称的．记r∶｜Σn｜→Sn为中心投影，即由规定的映射，则r是同胚，从而（Σn，r）是Sn的剖分．
1701047742
1701047743
1701047744
1701047745
1701047746
1701047747
1701047748
记h′＝r-1hr∶｜Σn｜→｜Σn｜，则h′是｜Σn｜上的中心对称映射．记φ∶Σn→Σn是由顶点对应决定的单纯映射，则因此φ就是h′的单纯逼近．约定
1701047749
1701047750
取zn∈Cn（Σn）为
1701047751
1701047752
1701047753
1701047754
1701047755
容易验证∂nzn＝0，即zn∈Zn（Σn）＝Hn（Σn）．zn≠0，并且
1701047756
1701047757
1701047758
1701047759
1701047760
按定义，deg（h）＝（－1）n＋1． ▎
1701047761
1701047762
1701047763
如果n是正偶数，则deg（h）＝－1，从而
1701047764
1701047765
定理8.1 设n是正偶数，p∶Sn→X是复叠映射，则p是2叶复叠映射或同胚映射．
1701047766
1701047767
1701047768
1701047769
证明 因为Sn单连通，p是泛复叠映射，所以p的叶数就是复叠变换群（Sn，p）中元素的个数，要证＃（Sn，p）≤2．
1701047770
1701047771
1701047772
1701047773
如果g∈（Sn，p），g不是id∶Sn→Sn，则g无不动点，即g（x）≠x＝－h（x）．于是（第四章§1例2），从而deg（g）＝deg（h）＝（－1）n＋1＝－1．
1701047774
1701047775
1701047776
1701047777
1701047778
1701047779
1701047780
1701047781
1701047782
1701047783
于是，若g1，g2∈（Sn，p）都不是id，则deg（g1g2）＝deg（g1）·deg（g2）＝1，因此g1g2＝id．同理g1g1＝id．则g1＝g1g1g2＝g2．这样，（Sn，p）最多只有一个非单位元，即（Sn，p）≤2． ▎
1701047784
1701047785
如果n是奇数，定理的结论就不成立了．例如可构造S1到S1的任何正整数叶的复叠映射，又如S3到透镜空间L（p，q）有p叶的复叠映射．
1701047786
1701047787
下面讨论球面上的连续切向量场．
1701047788
1701047789
球面Sn上的连续切向量场是指对每一点x∈Sn，规定Sn在x处的一个切向量v（x），并且v（x）连续地依赖于x．如把En＋1看作n＋1维向量空间，则Sn上的一个连续切向量场就是一个连续映射v∶Sn→En＋1，满足内积v（x）·x＝0，∀x∈Sn．如果在x处v（x）＝0，则称x是v的奇点．