1701047715
1701047716
｜deg（h）｜＝1．
1701047717
1701047718
剩下要决定deg（h）的正负性．
1701047719
1701047720
命题8.2 设h∶Sn→Sn是对径映射，则
1701047721
1701047722
deg（h）＝（－1）n＋1．
1701047723
1701047724
证明 作复形Σn如下．
1701047725
1701047726
1701047727
记规定
1701047728
1701047729
1701047730
1701047731
1701047732
1701047733
1701047734
1701047735
图8-1
1701047736
1701047737
图8-1中画出了Σ2，它是正八面体的边界．
1701047738
1701047739
1701047740
1701047741
我们不难看出它也是关于原点O中心对称的．记r∶｜Σn｜→Sn为中心投影，即由规定的映射，则r是同胚，从而（Σn，r）是Sn的剖分．
1701047742
1701047743
1701047744
1701047745
1701047746
1701047747
1701047748
记h′＝r-1hr∶｜Σn｜→｜Σn｜，则h′是｜Σn｜上的中心对称映射．记φ∶Σn→Σn是由顶点对应决定的单纯映射，则因此φ就是h′的单纯逼近．约定
1701047749
1701047750
取zn∈Cn（Σn）为
1701047751
1701047752
1701047753
1701047754
1701047755
容易验证∂nzn＝0，即zn∈Zn（Σn）＝Hn（Σn）．zn≠0，并且
1701047756
1701047757
1701047758
1701047759
1701047760
按定义，deg（h）＝（－1）n＋1． ▎
1701047761
1701047762
1701047763
如果n是正偶数，则deg（h）＝－1，从而
1701047764