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定理8.1 设n是正偶数，p∶Sn→X是复叠映射，则p是2叶复叠映射或同胚映射．
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证明 因为Sn单连通，p是泛复叠映射，所以p的叶数就是复叠变换群（Sn，p）中元素的个数，要证＃（Sn，p）≤2．
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如果g∈（Sn，p），g不是id∶Sn→Sn，则g无不动点，即g（x）≠x＝－h（x）．于是（第四章§1例2），从而deg（g）＝deg（h）＝（－1）n＋1＝－1．
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于是，若g1，g2∈（Sn，p）都不是id，则deg（g1g2）＝deg（g1）·deg（g2）＝1，因此g1g2＝id．同理g1g1＝id．则g1＝g1g1g2＝g2．这样，（Sn，p）最多只有一个非单位元，即（Sn，p）≤2． ▎
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如果n是奇数，定理的结论就不成立了．例如可构造S1到S1的任何正整数叶的复叠映射，又如S3到透镜空间L（p，q）有p叶的复叠映射．
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下面讨论球面上的连续切向量场．
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球面Sn上的连续切向量场是指对每一点x∈Sn，规定Sn在x处的一个切向量v（x），并且v（x）连续地依赖于x．如把En＋1看作n＋1维向量空间，则Sn上的一个连续切向量场就是一个连续映射v∶Sn→En＋1，满足内积v（x）·x＝0，∀x∈Sn．如果在x处v（x）＝0，则称x是v的奇点．
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定理8.2 当n为偶自然数时，Sn的连续切向量场一定有奇点．
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证明 用反证法．如果连续切向量场v没有奇点，则可规定f∶Sn→Sn为
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∀x∈Sn．
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因为v（x）·x＝0，所以f（x）·x＝0，从而f（x）≠±x，∀x∈Sn．由此推出（从f（x）≠－x，∀x∈Sn），和（从f（x）≠x，∀x∈Sn）（见第四章§1的例2）．于是但deg（h）＝－1，deg（id）＝1，与命题8.1的（2）矛盾． ▎
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如果‖v（x）‖＝1，∀x∈Sn（即v（x）总是单位向量，就称v是Sn上的单位切向量场．于是定理8.2的另一说法是：当n是正的偶数时，Sn上没有连续的单位切向量场．
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图8-2
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在n＝2时，定理还有一个直观的说法：一个球面上如果长满了毛发，不可能将毛发处处平顺地梳拢到球面上．也就是说在有的点上的毛发不论往哪个方向梳，总要与周围毛发的方向不协调．以这种点为心的一个小圆圈上，毛发的方向不会是图8-2（a）的情形（否则让圆内各点处的毛发按圆圈上的方向梳理，x就不是特殊点了），而是像（b），（c）或者更加复杂的情形，即毛发在x处“打旋”．图8-3的（a）和（b）分别画出了有一个和两个旋点的情形．
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