1701047790
1701047791
定理8.2 当n为偶自然数时，Sn的连续切向量场一定有奇点．
1701047792
1701047793
证明 用反证法．如果连续切向量场v没有奇点，则可规定f∶Sn→Sn为
1701047794
1701047795
1701047796
∀x∈Sn．
1701047797
1701047798
1701047799
1701047800
1701047801
因为v（x）·x＝0，所以f（x）·x＝0，从而f（x）≠±x，∀x∈Sn．由此推出（从f（x）≠－x，∀x∈Sn），和（从f（x）≠x，∀x∈Sn）（见第四章§1的例2）．于是但deg（h）＝－1，deg（id）＝1，与命题8.1的（2）矛盾． ▎
1701047802
1701047803
如果‖v（x）‖＝1，∀x∈Sn（即v（x）总是单位向量，就称v是Sn上的单位切向量场．于是定理8.2的另一说法是：当n是正的偶数时，Sn上没有连续的单位切向量场．
1701047804
1701047805
1701047806
1701047807
1701047808
图8-2
1701047809
1701047810
在n＝2时，定理还有一个直观的说法：一个球面上如果长满了毛发，不可能将毛发处处平顺地梳拢到球面上．也就是说在有的点上的毛发不论往哪个方向梳，总要与周围毛发的方向不协调．以这种点为心的一个小圆圈上，毛发的方向不会是图8-2（a）的情形（否则让圆内各点处的毛发按圆圈上的方向梳理，x就不是特殊点了），而是像（b），（c）或者更加复杂的情形，即毛发在x处“打旋”．图8-3的（a）和（b）分别画出了有一个和两个旋点的情形．
1701047811
1701047812
1701047813
1701047814
1701047815
图8-3
1701047816
1701047817
在T2上情况则不同，可以将T2上的毛发处处平顺地梳拢在T2上，比如让毛发都顺着经圆．
1701047818
1701047819
习 题
1701047820
1701047821
1．证明Sn－1不是Dn的收缩核．
1701047822
1701047823
2．设f∶Dn→En连续．证明在下列条件之一成立时，f有不动点：
1701047824
1701047825
（1）f（Sn－1）⊂Dn；
1701047826
1701047827
（2）∀x∈Sn－1，f（x），x与原点不共线；
1701047828
1701047829
1701047830
（3）∀x∈Sn－1，线段过原点．
1701047831
1701047832
（这是第四章§5习题8的推广）
1701047833
1701047834
3．设f∶Dn→En是嵌入映射，并且Dn⊂f（Dn），则f有不动点．
1701047835
1701047836
4．设f∶Dn→Dn连续，并且f（Sn－1）⊂Sn－1，记f0∶Sn－1→Sn－1是f在Sn－1上的限制．证明：如果deg（f0）≠0，则f是满的．
1701047837
1701047838
5．设n是偶数，f∶Sn→Sn连续，则
1701047839