1701047965
1701047966
1701047967
fiφi＝φifi
1701047968
1701047969
（这里φi∶Ci（Σn）→Ci（Σn）是命题8.2中的单纯映射φ∶Σn→Σn导出的链同态），并且fi（Ci（Σn－1））⊂Ci（Σn－1）．
1701047970
1701047971
由于∂n（fn（dn））＝fn－1（∂ndn）＝（－1）nfn－1（zn－1）在Σn－1中，根据引理3，存在整数k和l，使得
1701047972
1701047973
1701047974
1701047975
1701047976
1701047977
1701047978
从dn与的关系式有
1701047979
1701047980
1701047981
1701047982
1701047983
1701047984
于是而zn是Hn（Σn）＝Zn（Σn）的生成元，从而得出deg（f）＝k＋l．
1701047985
1701047986
1701047987
1701047988
1701047989
1701047990
（1）的证明 当n＝1时，f∶｜Σ1｜→｜Σ1｜保径，并且f（｜Σ0｜）⊂｜Σ0｜，而设则
1701047991
1701047992
1701047993
对两边用∂1作用
1701047994
1701047995
1701047996
1701047997
1701047998
1701047999
而从而
1701048000
1701048001
1701048002
1701048003
1701048004
于是k－l＝ε，｜k－l｜＝1，推出deg（f）＝k＋l是奇数．
1701048005
1701048006
（2）的证明
1701048007
1701048008
1701048009
1701048010
1701048011
1701048012
1701048013
1701048014
Zn－1是Hn－1（Σn－1）＝Zn－1（Σn－1）的生成元，因此由归纳假设知，k－l是奇数，从而deg（f）＝k＋l也是奇数． ▎