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2.2 Borsuk-Ulam定理
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Borsuk-Ulam定理是利用保径映射不零伦的性质得出的一个著名定理，它有许多应用和推广．
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定理8.3（Borsuk-Ulam定理） 设f∶Sn→En是连续映射，则Sn上至少有一对对径点被f映到同一点．
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证明 否则，∀x∈Sn，f（x）≠f（一x）．规定g∶Sn→Sn－1为
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∀x∈Sn，
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则g（－x）＝－g（x），∀x∈Sn．记i∶Sn－1→Sn是包含映射，则ig∶Sn→Sn是保径映射，并且ig不满，从而ig零伦．与命题8.3相矛盾． ▎
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推论 若A1，…，An是Sn上的n个闭集，每一个不包含一对对径点，则至少含一对对径点．
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证明 规定连续映射f∶Sn→En为
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f（x）＝（d（x，A1），…，d（x，An））， ∀x∈Sn．
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由定理8.3知道，存在一对对径点x与－x，使得f（x）＝f（－x），即∀i∈Z，d（x，Ai）＝d（－x，Ai）．但是，x与－x不能都在Ai中，于是d（x，Ai）＝d（－x，Ai）＞0，即x，－x都不在Ai中（∀i∈Z），因此它们包含在中． ▎
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推论中的条件“A1，…，An是Sn上的闭集”可减弱为“A1，…，An是Sn上的闭集或开集”．在证明中定义f时，当Ai是开集时，就用代替原来的d（x，Ai）就可．
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推论的另一种形式是
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Lusternik-Schnirelmann定理 若Sn被（n＋1）个闭集A1，…，An＋1所覆盖，则至少有一个Ai包含一对对径点．
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由上面的讨论，定理中关于A1，…，An＋1的条件也可减弱为其中有n个为闭集或开集．
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定理8.3的另一个有趣的应用就是所谓三明治定理，它的直观含义是：由两片面包夹一块火腿做成的一份三明治总可切一刀，把每片面包和火腿都等分为两半．下面用数学语言写出这个定理．
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定理8.4（三明治定理） 设E3中有三个可测体积的子集A1，A2和A3，则有平面把每个Ai都分成体积相等的两部分．
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图8-4 n＝2时三明治定理的证明
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