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f（x）＝（v1（x），v2（x），v3（x））， ∀x∈Sn，
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则f连续．根据定理8.3，存在x0，使得f（x0）＝f（－x0），即vi（x0）＝vi（－x0）（i＝1，2，3），从而与有相同的体积．记π0是π（x0）与E3的相交平面，则π0等分Ai（i＝1，2，3）． ▎
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三明治定理可推广到任何自然数n的情形：En中任何n个可测子集A1，A2，…，An可同时被某个n－1维超平面等分．
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习 题
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1．设f∶Sn→Sn连续，并且∀x∈Sn，f（x）≠f（－x）．证明deg（f）是奇数．
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2．设X是可剖分空间，f∶Sn→X连续，并且满足f（x）＝f（－x），∀x∈Sn．证明f*n（Hn（Sn））⊂2Hn（X）．特别当n是偶数时f*n（Hn（Sn））＝0．
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（对一个交换群G，把由gng得到的G的自同态记作φn，则规定nG∶＝Imφn．它也就是G中全体能被n除的元素构成的子群．）
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3．设f∶Sn→Sn连续，并且满足f（x）＝f（－x），∀x∈Sn，则deg（f）是偶数．
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4．若f∶Sn→Sn连续，并且f（－x）≠－f（x），∀x∈Sn，则deg（f）是偶数．
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5．若f∶Sm→Sn是保径映射，则m≤n．
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基础拓扑学讲义 [:1701040241]
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§3 Lefschetz不动点定理
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Lefschetz不动点定理是关于可剖分空间自映射的不动点存在性的判别定理，Brouwer不动点定理可看作它的一种特殊情形．
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我们用实系数同调群来叙述并证明Lefschetz定理②．
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设K是复形，有αq个q维单形．K的以实数域R为系数群的q维链群Cq（K；R）是R上的αq维线性空间，边缘同态
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∂q∶Cq（K；R）→Cq－1（K；R）
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则是线性映射．于是Zq（K；R）和Bq（K；R）也都是有限维线性空间，从而Hq（K；R）也是线性空间，并且
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dim（Hq（K；R））＝dim（Zq（K；R））－dim（Bq（K；R））．
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单纯映射φ∶K→L诱导出从C（K；R）到C（L；R）的映射
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｛φq∶Cq（K；R）→Cq（L；R）｜q∈Z｝，
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其中每个φq都是线性映射．可规定重分链映射
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｛ηq∶Cq（K；R）→Cq（K（1）；R）｜q∈Z｝，
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ηq也都是线性映射．于是连续映射f∶｜K｜→｜L｜诱导线性映射
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f*q∶Hq（K；R）→Hq（L；R）．