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设H是n维实线性空间，φ∶H→H是线性映射．任取H的一个基｛ε1，ε2，…，εn｝，则有n阶方阵A，使得
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（φ（ε1），φ（ε2），…，φ（εn））＝（ε1，ε2，…，εn）A．
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A的迹数（主对角线上元素之和）与基的选择是无关的，由φ所决定，称为φ的迹数，记作tr（φ）．
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定义8.1 设X是可剖分空间，f∶X→X是连续映射，规定f的Lefschetz数L（f）为
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定理8.5（Lefschetz不动点定理） 设X是可剖分空间，f∶X→X是连续映射．如果L（f）≠0，则f有不动点．
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证明这个定理之前，先证两个引理．
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引理1（迹数可加性定理） 设H是有限维实线性空间，φ∶H→H是线性映射，H0是H的线性子空间，满足φ（H0）⊂H0．记是φ诱导的线性映射，φ0＝φ｜H0∶H0→H0，则
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证明 记j∶H→H/H0为投射．取H的基｛ε1，ε2，…，εn｝，使得｛ε1，ε2，…，εl｝是H0的基．记则是H/H0的基．设A是φ在｛ε1，…，εn｝下的方阵，则A有下面的分块形式
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其中A0是l阶方阵，它是φ0在｛ε1，…，εl｝下的矩阵；A1则恰为在下的矩阵．由迹数定义得结论． ▎
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引理2（Hopf迹数引理） 设K是复形，｛fq∶Cq（K；R）→Cq（K；R）｜q∈Z｝是链映射，则
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（f*q∶Hq（K；R）→Hq（K；R）是｛fq｝诱导的同调群线性映射）．
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证明 记和（K；R）都是fq的限制，则有交换图表：
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用引理1，得到
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