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证明 记j∶H→H/H0为投射.取H的基{ε1,ε2,…,εn},使得{ε1,ε2,…,εl}是H0的基.记则是H/H0的基.设A是φ在{ε1,…,εn}下的方阵,则A有下面的分块形式
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其中A0是l阶方阵,它是φ0在{ε1,…,εl}下的矩阵;A1则恰为在下的矩阵.由迹数定义得结论. ▎
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引理2(Hopf迹数引理) 设K是复形,{fq∶Cq(K;R)→Cq(K;R)|q∈Z}是链映射,则
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(f*q∶Hq(K;R)→Hq(K;R)是{fq}诱导的同调群线性映射).
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证明 记和(K;R)都是fq的限制,则有交换图表:
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用引理1,得到
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两式相加,得到
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记n=dimK,则又于是
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定理8.5的证明 我们证明定理的逆否命题,即如果f没有不动点,则L(f)=0.
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规定ρ∶X→E1为ρ(x)=d(x,f(x)).因为X紧致,ρ有界,且在某点x0达到最小值δ.因为f没有不动点,δ=d(x0,f(x0))>0.取X的剖分K,使得Mesh(K)<δ/2.不妨设X=|K|.取r使f有单纯逼近φ∶K(r)→K.则从而特别地对K(r)的任一顶点b,
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