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证明 记j∶H→H/H0为投射．取H的基｛ε1，ε2，…，εn｝，使得｛ε1，ε2，…，εl｝是H0的基．记则是H/H0的基．设A是φ在｛ε1，…，εn｝下的方阵，则A有下面的分块形式
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其中A0是l阶方阵，它是φ0在｛ε1，…，εl｝下的矩阵；A1则恰为在下的矩阵．由迹数定义得结论． ▎
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引理2（Hopf迹数引理） 设K是复形，｛fq∶Cq（K；R）→Cq（K；R）｜q∈Z｝是链映射，则
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（f*q∶Hq（K；R）→Hq（K；R）是｛fq｝诱导的同调群线性映射）．
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证明 记和（K；R）都是fq的限制，则有交换图表：
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用引理1，得到
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两式相加，得到
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记n＝dimK，则又于是
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定理8.5的证明 我们证明定理的逆否命题，即如果f没有不动点，则L（f）＝0．
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规定ρ∶X→E1为ρ（x）＝d（x，f（x））．因为X紧致，ρ有界，且在某点x0达到最小值δ．因为f没有不动点，δ＝d（x0，f（x0））＞0．取X的剖分K，使得Mesh（K）＜δ/2．不妨设X＝｜K｜．取r使f有单纯逼近φ∶K（r）→K．则从而特别地对K（r）的任一顶点b，
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