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对K的每个q维单形取好定向，得到Cq（K；R）的一个基设它在该基下有方阵A＝（aij），则aii就是ξq（si）在si上所取的值．根据定义，是si“分割”成的许多定向单形之和，记则ξq（si）＝Σφq（σij）．对每个σij，它的任一顶点因而φ（b）不是的顶点（否则d（b，φ（b））≤δ/2）．于是φq（σij）≠±si．这说明ξq（si）在si上取值为0，从而aii＝0，
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∀q∈Z．
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｛f*q｝是由链映射｛ξq｝诱导的，根据引理2，
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例 如果则对任何连续映射f∶X→X，L（f）＝tr（f*0）＝1，因此f总有不动点．如Dn、P2以及任何可缩的多面体都符合要求．
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习 题
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1．证明L（f）是同伦不变量，即当时，L（f）＝L（g）．
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2．设K的Euler示性数x（K）≠0，证明若则f有不动点．
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3．证明射影平面到自身的任何连续映射都有不动点．
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① Hn（Sn）和f*n都是要通过Sn的某个剖分（K，φ）来规定的，即Hn（Sn）＝Hn（K），f*n＝（φ-1fφ）*n∶Hn（K）→Hn（K）．可以证明：deg（f）与（K，φ，）的选择无关，在此不详细论述了．
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② 许多书中用有理系数同调群．
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基础拓扑学讲义 附录A 关于群的补充知识
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我们假设读者已具备群的初步知识，包括群，同态，同构，子群，正规子群，商群，元素的阶，交换群（或称Abel群）等概念，以及循环群，自由循环群等具体例子．
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本附录介绍本书中要用到的关于群的一些知识．主要是有限生成交换群的直和分解定理和秩，以及群的交换化．交换群中的运算称作加法，用“＋”表示，单位元记作0，相应地把平凡群称作零群，平凡同态称作零同态，都记作0．
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1．自由交换群与有限生成交换群
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定义A.1 交换群F称为自由交换群，如果有子集A⊂F，使得∀x∈F可唯一表示成A中有限个元素的整系数线性组合：
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