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证明 ．设j∶F→H是满同态，其中F是有限基自由群．设｛f1，f2，…，fr｝是F的基，则显然｛j（f1），…，j（fr）｝是H的生成元组．
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．取H的生成元组｛a1，a2，…，ar｝．构作F为
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F＝｛（n1，…，nr）｜ni∈Z｝，
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则F在向量加法下是有限基自由交换群．规定对应j∶F→H为则j是满同态． ▎
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推论 有限生成交换群的商群也是有限生成的． ▎
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根据本书的需要，从现在起，我们只讨论有限生成的交换群．
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设H是有限生成交换群，h∈H称为有限阶的，如果存在r∈N，使得rh＝0．记TH是H的全部有限阶元素构成的集合，则TH是H的子群，称为H的挠子群．
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设H0是H的子群，规定
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C（H0）∶＝｛h∈H｜存在r∈N，使得rh∈H0｝．
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它是H的一个子群．特别地，C（TH）＝C（0）＝TH．
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命题A.2 （1）H/C（H0）无有限阶非0元素；
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（2）C（H0）/H0的每个元素都是有限阶的．
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证明 （1）设h∈H，使得它代表的商群元素〈h〉∈H/C（H0）是有限阶的，则有r∈N，使得r〈h〉＝0，即rh∈C（H0）．由定义，存在r′∈N，使得r′（rh）∈H0，于是h∈C（H0），〈h〉＝0．
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（2）由C（H0）的定义直接得出． ▎
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推论 H/TH无有限阶非0元素． ▎
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引理 设r1，r2，…，rn都是整数，它们的最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．则存在使得
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这里是全体以整数为元素、行列式等于1的n阶方阵的集合．
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证明 对n作归纳．n＝1显然．
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设对n－1已证．（r1，r2，…，rn）＝1．记r＝（rn－1，rn）．则存在整数s和t，使得srn－1＋trn＝r．作为
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