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令，则A为所求． ▎
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定理A.1 没有有限阶非0元素的有限生成交换群是自由群．
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证明 设H是有限生成交换群．它没有有限阶非0元素．假设H的生成元组包含元素个数的最小值为n，并且｛a1，a2，…，an｝是一个生成元组．用反证法说明｛a1，a2，…，an｝自由生成H．否则，有不全为0的整数r1，r2，…，rn，使得r1a1＋r2a2＋…＋rnan＝0．由于H没有有限阶非0元素，不妨可设最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．由引理，存在使得
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令（b1，b2，…，bn）＝（a1，a2，…，an）A-1，则｛bi｝也是H的生成元组，并且
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于是｛b2，…，bn｝也是H的生成元组，它只有n－1个元素．与假设矛盾． ▎
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推论 设H0是有限生成交换群H的子群，则H/C（H0）是自由交换群．特别地，H/TH是自由交换群． ▎
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2．直和
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交换群的直和就是普通群的直积概念．两个交换群H1和H2的直和是一个交换群，记作H1H2，其集合为
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｛（h1，h2）｜hi∈Hi，i＝1，2｝．
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加法由
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规定．
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任意有限个交换群的直和可类似地规定．
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设H有一组子群H1，H2，…，Hn，使得∀h∈H可唯一地表示为则（容易验证，给出到H的同构）．在这种情况，称H是H1，H2，…，Hn的内直和（经常简单地称为直和），记作称Hi是H的直和因子（也称作直加项）．
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设F是有限基自由交换群，｛f1，f2，…，fn｝是它的基，记〈fi〉是fi生成的自由循环群，则
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命题A.3 设H1，H2是H的子群，H1＋H2＝H（即∀h∈H，有表示式h＝h1＋h2，hi∈Hi），并且H1∩H2＝0，则H＝H1H2．