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于是｛b2，…，bn｝也是H的生成元组，它只有n－1个元素．与假设矛盾． ▎
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推论 设H0是有限生成交换群H的子群，则H/C（H0）是自由交换群．特别地，H/TH是自由交换群． ▎
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2．直和
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交换群的直和就是普通群的直积概念．两个交换群H1和H2的直和是一个交换群，记作H1H2，其集合为
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｛（h1，h2）｜hi∈Hi，i＝1，2｝．
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加法由
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规定．
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任意有限个交换群的直和可类似地规定．
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设H有一组子群H1，H2，…，Hn，使得∀h∈H可唯一地表示为则（容易验证，给出到H的同构）．在这种情况，称H是H1，H2，…，Hn的内直和（经常简单地称为直和），记作称Hi是H的直和因子（也称作直加项）．
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设F是有限基自由交换群，｛f1，f2，…，fn｝是它的基，记〈fi〉是fi生成的自由循环群，则
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命题A.3 设H1，H2是H的子群，H1＋H2＝H（即∀h∈H，有表示式h＝h1＋h2，hi∈Hi），并且H1∩H2＝0，则H＝H1H2．
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证明 只须证明对h∈H，表示式h＝h1＋h2（hi∈Hi）是唯一的．若另有则因而从而即 ▎
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命题A.4 设j∶H→F是满同态，并且F是自由交换群，则（Kerj＝j-1（0），称为j的核．）
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