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证明 取A是F的一个基．规定对应θ∶A→H，使得∀a∈A，j（θ（a））＝a．由θ线性扩张得到同态φ∶F→H，它满足jφ＝id∶F→F．从而φ是单同态．∀h∈H，记h2＝φ（j（h）），h1＝h－h2．则h1∈Kerj，h2∈Imφ．如果h∈Kerj∩Imφ，则有f∈F，使得φ（f）＝h，于是h＝φ（jφ（f））＝φ（j（h））＝0．由命题A.3，
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推论 设H0是有限生成交换群H的子群，则
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特别地
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3．有限生成交换群的秩
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设H是交换群，记H*是所有从H到R（看作加法群）的群同态的集合，在H*中规定加法运算和数乘运算如下：
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∀f，g∈H*，则f＋g∈H*，规定为
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（f＋g）（h）＝f（h）＋g（h）， ∀h∈H；
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∀f∈H*，r∈R，则rf∈H*，规定为
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（rf）（h）＝rf（h）， ∀h∈H．
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不难验证，在这两种运算下H*为实线性空间．
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设φ∶H1→H2是同态，则规定为不难验证φ*是线性映射．容易看出，若φ是同构，则φ*也是同构．
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例如，Z*＝R（1维实线性空间）；设Q为有理数加群，Q*＝R；若H的每个元素都是有限阶的，则H*＝0（习题6）．
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命题A.5 （1）
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（2）若H0是H的子群，并且H/H0的每个元素都是有限阶的，则
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证明 （1）规定如下：令ζ（f1，f2）∈（H1H2）*为